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von Neumann の安定性条件

定理 5.5（「差分法の整合性・安定性・収束」§5）・ ✓公理まで証明済み

定数係数の陽的スキーム $C(\Delta t)$ （ $0 < \Delta t \le \Delta t_0 \le T$ 、 $h = h(\Delta t)$ ）について、次は同値である。

スキームは $\ell^2(h\mathbb{Z})$ で安定である。
定数 $C_0 \ge 0$ があって、すべての $0 < \Delta t \le \Delta t_0$ で $\max_{\theta\in[-\pi,\pi]}|g(\theta, \Delta t)| \le 1 + C_0\Delta t$ 。

特に、 $g$ が $\Delta t$ によらないとき（係数 $a_k$ が格子比だけで決まるとき）、安定であることと $\max_\theta|g(\theta)| \le 1$ は同値である。周期格子の上では、2 が成り立てば安定である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 86 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

掛け算作用素のノルム✓補題 5.3・差分法の整合性・安定性・収束
- 半離散 Fourier 変換✓補題 5.1・差分法の整合性・安定性・収束
  - Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
    Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数この先をたどる →
    正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - Fourier 係数・部分和・畳み込み定義 2.1・フーリエ級数
冪の有界性から 1 ステップの評価へ✓補題 5.4・差分法の整合性・安定性・収束

これを使っている定理証明で参照している 1 件

4 つのスキームの安定性と精度✓定理 7.1・差分法の整合性・安定性・収束

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