1 点ずつの熱浴更新の緩和は M² に比例して遅くなる

$M \ge 2$ とし、両端 $x_0 = x_M = 0$ を固定した自由な鎖の内点 $x = (x_1, \ldots, x_{M-1})$ の分布

を考える。$k \in \{1, \ldots, M-1\}$ を一様に選び、$x_k$ を平均 $(x_{k-1} + x_{k+1})/2$、分散 $\tau/2$ の正規分布から選び直す更新（無作為走査の熱浴更新）の遷移作用素を $P$ とする。

1. $\pi$ は $P$ の不変分布である。
2. $v_j = (\sin(jk\pi/M))_{k=1}^{M-1}$、$f_j(x) = \langle v_j, x\rangle$（$j = 1, \ldots, M-1$）について $$Pf_j = \mu_jf_j, \qquad \mu_j = 1 - \frac{1 - \cos(j\pi/M)}{M - 1}.$$
3. 定常な連鎖（$X_0 \sim \pi$）で $A_t = f_1(X_t)$ とすると、$\rho(t) = \mu_1^t$ で、積分自己相関時間は $$\tau_{\mathrm{int}} = \frac{1 + \mu_1}{2(1 - \mu_1)} \ge \frac{2M^2(M-1)}{\pi^2} - \frac12$$ である（単位は 1 点の更新 1 回）。$M - 1$ 回の更新を 1 掃引とすると、$\tau_{\mathrm{int}}$ は $2M^2/\pi^2 - 1/2$ 掃引以上である。