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離散 Laplace 方程式の収束率

命題 5.1（「定常反復法」§5） ・ ✓公理まで証明済み

1 次元（A=TA = T）と 2 次元（A=I⊗T+T⊗IA = I \otimes T + T \otimes I）のどちらでも、h=1/(m+1)h = 1/(m+1) として

ρJ=cos⁡πh,ρGS=cos⁡2πh,ωopt=21+sin⁡πh,ρ(Lωopt)=1−sin⁡πh1+sin⁡πh\rho_{\mathrm{J}} = \cos\pi h,\qquad \rho_{\mathrm{GS}} = \cos^2\pi h,\qquad \omega_{\mathrm{opt}} = \frac{2}{1 + \sin\pi h},\qquad \rho(\mathcal{L}_{\omega_{\mathrm{opt}}}) = \frac{1 - \sin\pi h}{1 + \sin\pi h}

が成り立つ。2 次元では自然な順序でも赤黒順序でも同じである。h→0h \to 0 で −ln⁡ρJ≈π2h2/2-\ln\rho_{\mathrm{J}} \approx \pi^2h^2/2、−ln⁡ρGS≈π2h2-\ln\rho_{\mathrm{GS}} \approx \pi^2h^2、−ln⁡ρ(Lωopt)≈2πh-\ln\rho(\mathcal{L}_{\omega_{\mathrm{opt}}}) \approx 2\pi h である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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