数学 › 数値線形代数 › 定常反復法

最適な緩和係数

系 4.4（「定常反復法」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ は矛盾なく順序づけられており、 $G_{\mathrm{J}}$ の固有値はすべて実数で $\rho_{\mathrm{J}} = \rho(G_{\mathrm{J}}) < 1$ とする。 $0 < \omega < 2$ について

\rho(\mathcal{L}_\omega) = \begin{cases} \dfrac{1}{4}\Bigl(\omega\rho_{\mathrm{J}} + \sqrt{\omega^2\rho_{\mathrm{J}}^2 - 4(\omega - 1)}\Bigr)^2 & (0 < \omega \le \omega_{\mathrm{opt}}) \\[2mm] \omega - 1 & (\omega_{\mathrm{opt}} \le \omega < 2) \end{cases},\qquad \omega_{\mathrm{opt}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_{\mathrm{J}}^2}}

であり、 $\rho(\mathcal{L}_\omega)$ は $\omega = \omega_{\mathrm{opt}}$ でだけ最小値 $\omega_{\mathrm{opt}} - 1$ をとる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Young の定理✓定理 4.3・定常反復法
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 1 件

離散 Laplace 方程式の収束率✓命題 5.1・定常反復法

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