Wilks の定理

定理 5.2（「検定と区間推定」§5）・ ✓公理まで証明済み

(R $_k$ ) のもとで、母数を $\theta=(\psi,\lambda)$ （ $\psi\in\mathbb R^r$ が検定の対象、 $\lambda\in\mathbb R^{k-r}$ が局外母数）と分け、帰無仮説を $H_0:\psi=\psi_0$ とする。 $H_0$ が真の値 $\theta_0=(\psi_0,\lambda_0)$ について成り立つとき、

2\log\Lambda_n\xrightarrow{d}\chi^2_r.

とくに $r=k$ （単純仮説）のときは $2(\ell_n(\hat\theta_n)-\ell_n(\theta_0))\to\chi^2_k$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 151 件、定義なども含めて 176 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

MLE の漸近正規性✓定理 6.1・点推定と漸近理論
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- スコアの平均と分散✓補題 3.2・点推定と漸近理論
- 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理
  - 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
  - 指数関数への収束✓補題 5.5・大数の法則と中心極限定理
  - レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理
    分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
    分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
    Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
- スルツキーの定理✓命題 6.1・大数の法則と中心極限定理
スルツキーの定理✓命題 6.1・大数の法則と中心極限定理
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
- 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

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漸近信頼区間✓定理 6.3・検定と区間推定

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