Hermite 行列の冪乗法

系 3.5（「固有値の計算 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Hermite 行列とし、固有値を $|\lambda_1| > |\lambda_2| \ge \cdots \ge |\lambda_n|$ と並べ、対応する正規直交な固有ベクトルを $\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_n$ とする。 $\boldsymbol{u}_1^{*}\boldsymbol{x}_0 \ne 0$ ならば、冪乗法の $\boldsymbol{x}_k$ と $\mu_k = R_A(\boldsymbol{x}_k)$ は、 $r = |\lambda_2/\lambda_1|$ として

\tan\angle(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{u}_1) \le r^k\tan\angle(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_1),\qquad |\mu_k - \lambda_1| \le (\lambda_{\max} - \lambda_{\min})\,r^{2k}\tan^2\angle(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_1)

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
角の基本性質✓補題 2.2・固有値の計算 I
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
Rayleigh 商の 2 次の精度✓補題 3.4・固有値の計算 I
- 角の基本性質✓補題 2.2・固有値の計算 I（上で展開済み）
- レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
  - 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
    実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

シフトつき逆反復の収束✓定理 4.2・固有値の計算 I

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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