角の基本性質

$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}$ を零でないベクトルとする。

1. $\cos^2\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) + \sin^2\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) = 1$。
2. $\sin\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) = \min_{\alpha\in\mathbb{C}} \|\boldsymbol{x} - \alpha\boldsymbol{v}\|/\|\boldsymbol{x}\|$。部分空間 $\mathcal{S}$ についても $\sin\angle(\boldsymbol{x}, \mathcal{S}) = \min_{\boldsymbol{s}\in\mathcal{S}} \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{s}\|/\|\boldsymbol{x}\|$。
3. 零でない複素数 $a, b$ について $\angle(a\boldsymbol{x}, b\boldsymbol{v}) = \angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v})$。
4. $\boldsymbol{x} = a\boldsymbol{v} + \boldsymbol{z}$、$\boldsymbol{v}^{*}\boldsymbol{z} = 0$、$a \ne 0$ と書けるとき $\tan\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) = \|\boldsymbol{z}\|/(|a|\|\boldsymbol{v}\|)$。