数学 › 数値線形代数 › 固有値の計算 I

Rayleigh 商反復の局所 3 次収束

定理 5.2（「固有値の計算 I」§5） ・ ✓公理まで証明済み

AA を nn 次 Hermite 行列（n≥2n \ge 2）、λ\lambda をその単純な固有値、v\boldsymbol{v} を対応する単位固有ベクトルとし、

δ=min⁡{∣λ′−λ∣:λ′ は λ と異なる A の固有値},Δ=λmax⁡−λmin⁡\delta = \min\{|\lambda' - \lambda| : \lambda' \text{ は } \lambda \text{ と異なる } A \text{ の固有値}\},\qquad \Delta = \lambda_{\max} - \lambda_{\min}

とおく。Rayleigh 商反復の θk=∠(xk,v)\theta_k = \angle(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{v}) が Δsin⁡2θ0<δ/2\Delta\sin^2\theta_0 < \delta/2 を満たすならば、反復が続く限り次が成り立つ。

  1. ∣μk−λ∣≤Δsin⁡2θk|\mu_k - \lambda| \le \Delta\sin^2\theta_k であり、μk\mu_k は λ\lambda 以外の固有値に一致しない。
  2. tan⁡θk+1≤Δsin⁡2θkδ−Δsin⁡2θktan⁡θk≤2Δδtan⁡3θk\displaystyle \tan\theta_{k+1} \le \frac{\Delta\sin^2\theta_k}{\delta - \Delta\sin^2\theta_k}\tan\theta_k \le \frac{2\Delta}{\delta}\tan^3\theta_k。とくに θk+1≤θk\theta_{k+1} \le \theta_k で、Δsin⁡2θk+1<δ/2\Delta\sin^2\theta_{k+1} < \delta/2 も保たれる。

したがって反復が有限回で止まらなければ tan⁡θk→0\tan\theta_k \to 0 であり、その収束は 3 次である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 1 問