数学 › 数値線形代数 › 固有値の計算 I

冪乗法の収束

定理 3.2（「固有値の計算 I」§3） ・ ✓公理まで証明済み

A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n\times n} は対角化可能で、固有値を重複を込めて ∣λ1∣>∣λ2∣≥∣λ3∣≥⋯≥∣λn∣|\lambda_1| > |\lambda_2| \ge |\lambda_3| \ge \cdots \ge |\lambda_n| と並べられるとする。対応する固有ベクトル v1,…,vn\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n（∥vi∥=1\|\boldsymbol{v}_i\| = 1）は基底をなすとし、x0=∑i=1ncivi\boldsymbol{x}_0 = \sum_{i=1}^{n} c_i\boldsymbol{v}_i で c1≠0c_1 \ne 0 とする。このとき冪乗法はすべての kk で定義され、

r=∣λ2λ1∣,S=∑i=2n∣ci∣∣c1∣r = \left|\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right|,\qquad S = \sum_{i=2}^{n}\frac{|c_i|}{|c_1|}

とおくと、Srk<1Sr^k < 1 を満たす kk について

sin⁡∠(xk,v1)≤Srk1−Srk\sin\angle(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{v}_1) \le \frac{S r^k}{1 - S r^k}

が成り立つ。とくに sin⁡∠(xk,v1)=O(rk)\sin\angle(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{v}_1) = O(r^k) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 2 問