数学 › 数値線形代数 › 固有値の計算 I

シフトつき逆反復の収束

定理 4.2（「固有値の計算 I」§4） ・ ✓公理まで証明済み

AA は 定理 3.2 と同じく対角化可能で、固有値 λ1,…,λn\lambda_1, \ldots, \lambda_n（重複を込める）と単位固有ベクトル v1,…,vn\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n が基底をなすとする。μ\mu は固有値でなく、ある添字 JJ について

∣λJ−μ∣<∣λK−μ∣≤∣λi−μ∣(i≠J)|\lambda_J - \mu| < |\lambda_K - \mu| \le |\lambda_i - \mu|\quad (i \ne J)

を満たす K≠JK \ne J があるとする（λJ\lambda_J は μ\mu に最も近い固有値で単純、λK\lambda_K は 2 番目に近い固有値）。x0=∑icivi\boldsymbol{x}_0 = \sum_i c_i\boldsymbol{v}_i で cJ≠0c_J \ne 0 ならば、

r=∣λJ−μ∣∣λK−μ∣,S=∑i≠J∣ci∣∣cJ∣r = \frac{|\lambda_J - \mu|}{|\lambda_K - \mu|},\qquad S = \sum_{i\ne J}\frac{|c_i|}{|c_J|}

として、Srk<1Sr^k < 1 のとき sin⁡∠(xk,vJ)≤Srk/(1−Srk)\sin\angle(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{v}_J) \le Sr^k/(1 - Sr^k) が成り立つ。AA が Hermite 行列で μ\mu が実数なら、さらに tan⁡∠(xk,vJ)≤rktan⁡∠(x0,vJ)\tan\angle(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{v}_J) \le r^k\tan\angle(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{v}_J) である（vi\boldsymbol{v}_i は正規直交にとる）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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