情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

エルミート行列の生成するユニタリ群

補題 2.2（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§2）・ ✓公理まで証明済み

$H$ をエルミート行列、 $H = U\Lambda U^{*}$ （ $U$ はユニタリ、 $\Lambda = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_d)$ は実対角）をその固有分解とする。実数 $t$ について $e^{-itH} = U\,\mathrm{diag}(e^{-it\mu_k})\,U^{*}$ で、これはユニタリ行列であり、 $H$ と可換である。半離散の Schrödinger 方程式の解は $\psi(t) = e^{-itH}\psi_0$ で、 $\|\psi(t)\| = \|\psi_0\|$ 、 $\langle\psi(t), H\psi(t)\rangle = \langle\psi_0, H\psi_0\rangle$ を満たす。また、 $\|X\| \le 1$ 、 $\|Y\| \le 1$ である行列について $\|X^n - Y^n\| \le n\|X - Y\|$ （ $n \ge 1$ ）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 64 件、定義なども含めて 80 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- Liouville の公式✓定理 2.3・線形微分方程式系
  - 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
行列指数関数定義 4.1・線形微分方程式系
スペクトル定理（正規行列）✓定理 8.1・スペクトル定理
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
  - 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Crank–Nicolson 法のユニタリ性と誤差✓定理 6.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
ユニタリな分割の誤差✓定理 7.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
分割演算子 Fourier 法の性質✓命題 7.6・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
箱による切断の誤差✓命題 8.1・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

エルミート行列の生成するユニタリ群

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件