情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

分割演算子 Fourier 法の性質

命題 7.6（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§7） ・ ✓公理まで証明済み

定義 7.5 について次が成り立つ。

  1. FF はユニタリで、TNT_N はエルミート、e−iτTN=F∗diag(e−iτκm2/2)Fe^{-i\tau T_N} = F^{*}\mathrm{diag}(e^{-i\tau\kappa_m^2/2})F である。1 ステップの行列は S2(τ)S_2(\tau)（A=TNA = T_N、B=VNB = V_N）で、ユニタリである。したがって ∥ψn∥=∥ψ0∥\|\psi^n\| = \|\psi^0\|。
  2. t=nτt = n\tau について ∥ψn−e−it(TN+VN)ψ0∥≤t τ2(∥[TN,[TN,VN]]∥12+∥[VN,[VN,TN]]∥24)∥ψ0∥.\bigl\|\psi^n - e^{-it(T_N + V_N)}\psi^0\bigr\| \le t\,\tau^2\Bigl(\frac{\|[T_N,[T_N,V_N]]\|}{12} + \frac{\|[V_N,[V_N,T_N]]\|}{24}\Bigr)\|\psi^0\|.
  3. 連続の作用素 T=−12d2dx2T = -\frac12\frac{d^2}{dx^2} と C4C^4 級の関数 VV について、C4C^4 級の関数 ψ\psi に対し [T,V]ψ=−12V′′ψ−V′ψ′,[V,[V,T]]ψ=−(V′)2ψ[T, V]\psi = -\tfrac12V''\psi - V'\psi',\qquad [V,[V,T]]\psi = -(V')^2\psi である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 70 件、定義なども含めて 86 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。