情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › 経路積分 Monte Carlo

縮小半群を生成する行列の分割の誤差

定理 3.2（「経路積分 Monte Carlo」§3） ・ ✓公理まで証明済み

A,B∈Mn(C)A, B \in M_n(\mathbb{C}) が、すべての s≥0s \ge 0 で

∥e−sA∥≤1,∥e−sB∥≤1,∥e−s(A+B)∥≤1\|e^{-sA}\| \le 1, \qquad \|e^{-sB}\| \le 1, \qquad \|e^{-s(A+B)}\| \le 1

を満たすとする。β≥0\beta \ge 0、M∈NM \in \mathbb{N}、τ=β/M\tau = \beta/M について次が成り立つ。

  1. （対称分割） ∥e−β(A+B)−(e−τA/2e−τBe−τA/2)M∥≤β3M2(∥[A,[A,B]]∥24+∥[B,[B,A]]∥12).\bigl\|e^{-\beta(A+B)} - \bigl(e^{-\tau A/2}e^{-\tau B}e^{-\tau A/2}\bigr)^M\bigr\| \le \frac{\beta^3}{M^2}\Bigl(\frac{\|[A,[A,B]]\|}{24} + \frac{\|[B,[B,A]]\|}{12}\Bigr).
  2. （非対称分割） ∥e−β(A+B)−(e−τAe−τB)M∥≤β22M ∥[A,B]∥.\bigl\|e^{-\beta(A+B)} - \bigl(e^{-\tau A}e^{-\tau B}\bigr)^M\bigr\| \le \frac{\beta^2}{2M}\,\|[A, B]\|.

仮定は、A,BA, B がともに半正定値エルミート行列のとき、およびともに反エルミート行列のときに満たされる（補題 2.2）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 58 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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