分配関数と熱平均の離散化誤差

系 3.4（「経路積分 Monte Carlo」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A, B$ を $n$ 次の半正定値エルミート行列、 $H = A + B$ 、 $Z = \mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}$ とし、

Z_M = \mathrm{Tr}\,S_\tau^M, \qquad \varepsilon_M = \frac{\beta^3}{M^2}\Bigl(\frac{\|[A,[A,B]]\|}{24} + \frac{\|[B,[B,A]]\|}{12}\Bigr)

とおく（ $\tau = \beta/M$ ）。

$\mathrm{Tr}\,L_\tau^M = \mathrm{Tr}\,S_\tau^M = Z_M$ 。すなわち、対称分割と非対称分割の分配関数は一致する。
$|Z_M - Z| \le n\,\varepsilon_M$ 。
$O \in M_n(\mathbb{C})$ について $\langle O\rangle_M = \mathrm{Tr}(O\,S_\tau^M)/Z_M$ とおく。 $n\,\varepsilon_M \le Z/2$ ならば $\bigl|\langle O\rangle_M - \langle O\rangle_\beta\bigr| \le \frac{4n\,\|O\|}{Z}\,\varepsilon_M.$

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 59 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。