行列指数関数の性質

命題 4.2（「線形微分方程式系」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A,B\in M_n(\mathbb{C})$ 、 $P$ を可逆行列とする。

$AB=BA$ なら $e^{A+B}=e^Ae^B$ 。
$e^{A}$ は可逆で $(e^A)^{-1}=e^{-A}$ 。
$\dfrac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A$ 。
$P^{-1}e^{A}P=e^{P^{-1}AP}$ 。
$\det e^A=e^{\operatorname{tr}A}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
Liouville の公式✓定理 2.3・線形微分方程式系
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 導関数が 0 の関数✓補題 2.2・常微分方程式の初等解法
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 9 件

エルミート行列の生成するユニタリ群✓補題 2.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
共役による変化と交換子✓補題 7.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
ユニタリな分割の誤差✓定理 7.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
指数関数が縮小になる 2 つの場合✓補題 2.2・経路積分 Monte Carlo
指数関数との交換子✓補題 2.3・経路積分 Monte Carlo
定数係数線形系の解✓定理 4.3・線形微分方程式系
可逆行列の対数✓補題 5.2・線形微分方程式系
Floquet の定理✓定理 5.3・線形微分方程式系
Jacobi 行列式の指数化（原論文 (1.24)）✓補題 8.3・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)

行列指数関数の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 9 件