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ユニタリな分割の誤差

定理 7.3（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A, B$ を $d$ 次のエルミート行列、 $t \ge 0$ 、 $n \ge 1$ 、 $\tau = t/n$ とする。

$\bigl\|S_1(\tau)^n - e^{-it(A+B)}\bigr\| \le \dfrac{t\,\tau}{2}\,\|[A, B]\|$ 。
$\bigl\|S_2(\tau)^n - e^{-it(A+B)}\bigr\| \le t\,\tau^2\Bigl(\dfrac{\|[A,[A,B]]\|}{12} + \dfrac{\|[B,[B,A]]\|}{24}\Bigr)$ 。
$[A, B] = 0$ なら $S_1(\tau)^n = S_2(\tau)^n = e^{-it(A+B)}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 85 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- Liouville の公式✓定理 2.3・線形微分方程式系
  - 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
共役による変化と交換子✓補題 7.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
- 行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系（上で展開済み）
エルミート行列の生成するユニタリ群✓補題 2.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系（上で展開済み）
- 行列指数関数定義 4.1・線形微分方程式系
- スペクトル定理（正規行列）✓定理 8.1・スペクトル定理
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
縮小半群を生成する行列の分割の誤差✓定理 3.2・経路積分 Monte Carlo
- 定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
- 指数関数との交換子✓補題 2.3・経路積分 Monte Carlo
  - 行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系（上で展開済み）
  - 定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
指数関数が縮小になる 2 つの場合✓補題 2.2・経路積分 Monte Carlo
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系（上で展開済み）

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分割演算子 Fourier 法の性質✓命題 7.6・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

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