情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

箱による切断の誤差

命題 8.1（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§8） ・ ✓公理まで証明済み

HH を dd 次のエルミート行列、PP を直交射影（P=P∗=P2P = P^{*} = P^2）、Q=I−PQ = I - P とし、HP=PHPH_P = PHP とおく。ψ(t)=e−itHψ0\psi(t) = e^{-itH}\psi_0、φ(t)=e−itHPPψ0\varphi(t) = e^{-itH_P}P\psi_0 とすると、t≥0t \ge 0 について

∥Pψ(t)−φ(t)∥≤∫0t∥PHQ ψ(s)∥ ds,∥ψ(t)−φ(t)∥≤∥Qψ(t)∥+∫0t∥PHQ ψ(s)∥ ds\|P\psi(t) - \varphi(t)\| \le \int_0^t\|PHQ\,\psi(s)\|\,ds,\qquad \|\psi(t) - \varphi(t)\| \le \|Q\psi(t)\| + \int_0^t\|PHQ\,\psi(s)\|\,ds

が成り立つ。H=12h2tridiag(−1,2,−1)+diag(Vj)H = \frac{1}{2h^2}\mathrm{tridiag}(-1,2,-1) + \mathrm{diag}(V_j)（格子点 j=−J′,…,J′j = -J', \ldots, J'）で、PP が ∣j∣≤J|j| \le J（J<J′J \lt J'）の成分への射影のとき、

∥PHQ ψ(s)∥=12h2(∣ψJ+1(s)∣2+∣ψ−J−1(s)∣2)1/2\|PHQ\,\psi(s)\| = \frac{1}{2h^2}\bigl(|\psi_{J+1}(s)|^2 + |\psi_{-J-1}(s)|^2\bigr)^{1/2}

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 65 件、定義なども含めて 81 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。