情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
Crank–Nicolson 法のユニタリ性と誤差
をエルミート行列、 とする。
- はユニタリで と可換である。したがって 、（すべての ）。
- について
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 66 件、定義なども含めて 82 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
- 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
- 固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化 この先をたどる →
- 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- Cayley 変換のスカラーの評価✓補題 6.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
スペクトル定理（正規行列）✓定理 8.1・スペクトル定理
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
エルミート行列の生成するユニタリ群✓補題 2.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
行列指数関数の性質✓命題 4.2・線形微分方程式系
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束 この先をたどる →
Liouville の公式✓定理 2.3・線形微分方程式系
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
- 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法 この先をたどる →
- 行列指数関数定義 4.1・線形微分方程式系
- スペクトル定理（正規行列）✓定理 8.1・スペクトル定理（上で展開済み）
定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系
線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。