残差による固有ベクトルの評価（sin θ 評価）

定理 5.2（「対称固有値問題と特異値分解の計算」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Hermite 行列、 $\boldsymbol{x}$ を単位ベクトル、 $\theta = \boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}$ 、 $\boldsymbol{r} = A\boldsymbol{x} - \theta\boldsymbol{x}$ とする。 $\lambda$ を $A$ の固有値、 $\mathcal{V}$ をその固有空間とし、

\delta = \min\{|\lambda' - \theta| : \lambda' \text{ は } \lambda \text{ と異なる } A \text{ の固有値}\} > 0

とする。このとき $\sin\angle(\boldsymbol{x}, \mathcal{V}) \le \|\boldsymbol{r}\|_2/\delta$ である。とくに $\lambda$ が単純で $\boldsymbol{v}$ がその固有ベクトルなら $\sin\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) \le \|\boldsymbol{r}\|_2/\delta$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
ベクトルどうし・ベクトルと部分空間のなす角定義 2.1・固有値の計算 I

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

残差による固有ベクトルの評価（sin θ 評価）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）