ベクトルどうし・ベクトルと部分空間のなす角

$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^n$ を零でないベクトルとする。$\boldsymbol{v}$ への直交射影を $P_{\boldsymbol{v}}\boldsymbol{x} = \dfrac{\boldsymbol{v}^{*}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{v}^{*}\boldsymbol{v}}\boldsymbol{v}$ とし、

と定める。$\cos\angle \ne 0$ のとき $\tan\angle = \sin\angle/\cos\angle$ とする。角 $\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) \in [0, \pi/2]$ はこの正弦・余弦をもつ角である。

部分空間 $\mathcal{S} \ne \{\boldsymbol{0}\}$ への直交射影を $P_{\mathcal{S}}$ とするとき（定理 7.1［内積空間とグラム・シュミット直交化］ により存在する）、$\sin\angle(\boldsymbol{x}, \mathcal{S}) = \|\boldsymbol{x} - P_{\mathcal{S}}\boldsymbol{x}\|/\|\boldsymbol{x}\|$ とおき、部分空間 $\mathcal{U}$ から $\mathcal{S}$ への隔たりを

で定める。