情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › 経路積分 Monte Carlo

2 つの推定量の期待値と分散

命題 6.2（「経路積分 Monte Carlo」§6） ・ ✓公理まで証明済み

  1. 仮定 (C) のもとで ⟨ET⟩M=⟨EV⟩M=−∂∂βln⁡ZM\langle E_{\mathrm T}\rangle_M = \langle E_{\mathrm V}\rangle_M = -\dfrac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_M。
  2. V(x)=12ω2x2V(x) = \frac12\omega^2x^2 とし、κj=4τsin⁡2πjM\kappa_j = \dfrac4\tau\sin^2\dfrac{\pi j}{M}（j=0,…,M−1j = 0, \ldots, M-1）、ν=τω2\nu = \tau\omega^2 とおく。πM\pi_M のもとでの分散は Var(ET)=12β2∑j=0M−1(κj−νκj+ν)2,Var(EV)=2ω4M2∑j=0M−11(κj+ν)2\mathrm{Var}(E_{\mathrm T}) = \frac{1}{2\beta^2}\sum_{j=0}^{M-1}\Bigl(\frac{\kappa_j - \nu}{\kappa_j + \nu}\Bigr)^2, \qquad \mathrm{Var}(E_{\mathrm V}) = \frac{2\omega^4}{M^2}\sum_{j=0}^{M-1}\frac{1}{(\kappa_j + \nu)^2} で、 M−β2ω22β2≤Var(ET)≤M2β2,Var(EV)≤2β2+β2ω432\frac{M - \beta^2\omega^2}{2\beta^2} \le \mathrm{Var}(E_{\mathrm T}) \le \frac{M}{2\beta^2}, \qquad \mathrm{Var}(E_{\mathrm V}) \le \frac{2}{\beta^2} + \frac{\beta^2\omega^4}{32} が成り立つ。熱力学的推定量の分散は MM に比例して増え、ビリアル推定量の分散は MM について有界である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 133 件、定義なども含めて 157 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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