Wick（Isserlis）の公式

定理 6.1（「特性関数と Gauss ベクトル」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(X_1,\dots,X_{2n})$ を中心化（平均 $0$ ）Gauss ベクトルとし、 $C_{ij}=E[X_iX_j]$ とする。成分に重複があってもよい。このとき

E[X_1X_2\cdots X_{2n}]=\sum_{\pi}\ \prod_{\{k,l\}\in\pi}C_{kl},

ただし和は $\{1,\dots,2n\}$ の完全なペアリング $\pi$ （ $n$ 個の 2 元部分集合への分割）全体にわたる（ $(2n-1)!!$ 個）。また奇数個の積の期待値は $0$ ： $E[X_1\cdots X_{2n+1}]=0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 112 件、定義なども含めて 134 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
- 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
    確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
    変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  - 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

2 つの推定量の期待値と分散✓命題 6.2・経路積分 Monte Carlo
ポリマー表示（原論文の (V.A.7)–(V.A.9)）✓命題 3.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
局所階乗の原理（単一尺度）✓補題 4.2・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
Gauss 評価・局所階乗の原理（原論文 Lemma 16）✓補題 8.6・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
打ち切り期待値の 2 次までの計算✓補題 6.2・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部

Wick（Isserlis）の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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