数学 › 数値線形代数 › Krylov 部分空間法 I

共役勾配法と Lanczos 法の関係

定理 6.1（「Krylov 部分空間法 I」§6）・ ✓公理まで証明済み

共役勾配法が $k$ 回目まで停止しないとし、 $\boldsymbol{b}$ の代わりに $\boldsymbol{r}_0$ から始めた Lanczos 法（系 3.3）の $Q_k$ , $T_k$ を考える。このとき

各 $j < k$ について、 $\boldsymbol{r}_j$ は $\boldsymbol{q}_{j+1}$ の定数倍で、 $\|\boldsymbol{r}_j\| = |\boldsymbol{q}_{j+1}^{*}\boldsymbol{r}_j|$ である。
$T_k$ は正定値で、 $\boldsymbol{x}_k = \boldsymbol{x}_0 + Q_k\boldsymbol{y}_k$ 、 $T_k\boldsymbol{y}_k = \|\boldsymbol{r}_0\|\boldsymbol{e}_1$ である（ $\boldsymbol{e}_1$ は第 1 単位ベクトル）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共役勾配法の直交性と最適性✓定理 5.2・Krylov 部分空間法 I
Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
- Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
  - 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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