Lanczos の三項漸化式

系 3.3（「Krylov 部分空間法 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A$ が Hermite 行列なら、 $H_k$ は実の三重対角行列

H_k = T_k = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & & \\ \beta_1 & \alpha_2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & \beta_{k-1} \\ & & \beta_{k-1} & \alpha_k \end{pmatrix},\qquad \alpha_j = \boldsymbol{q}_j^{*}A\boldsymbol{q}_j \in \mathbb{R},\quad \beta_j = h_{j+1,j} > 0

であり、Arnoldi の過程は

\beta_j\boldsymbol{q}_{j+1} = A\boldsymbol{q}_j - \alpha_j\boldsymbol{q}_j - \beta_{j-1}\boldsymbol{q}_{j-1}\qquad(\beta_0\boldsymbol{q}_0 = \boldsymbol{0})

に簡約される（Lanczos 法）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。