GMRES の最小残差性と実装

定理 3.2（「Krylov 部分空間法 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$1\le k<d$ とする。

$\tilde H_k$ は列が一次独立で、 $\|\beta\boldsymbol{e}_1-\tilde H_k\boldsymbol{y}\|$ を最小にする $\boldsymbol{y}_k\in\mathbb{C}^k$ はただ 1 つである。 $\boldsymbol{x}_k$ はただ 1 つ存在して $\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{x}_0+Q_k\boldsymbol{y}_k$ 、 $\|\boldsymbol{r}_k\|=\|\beta\boldsymbol{e}_1-\tilde H_k\boldsymbol{y}_k\|$ 。
$A,\boldsymbol{b},\boldsymbol{x}_0$ が実のとき、第 $j$ ・ $j+1$ 行に作用する Givens 回転 $G_j$ （ $j=1,\ldots,k$ ）を順に選んで $G_k\cdots G_1\tilde H_k=\binom{R_k}{\boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}}$ （ $R_k$ は $k\times k$ の正則な上三角）とでき、 $\boldsymbol{g}=G_k\cdots G_1(\beta\boldsymbol{e}_1)$ とおくと $\boldsymbol{y}_k=R_k^{-1}(g_1,\ldots,g_k)^{\mathsf{T}}$ 、 $\|\boldsymbol{r}_k\|=|g_{k+1}|$ 。 $k$ から $k+1$ に進むときは、 $\tilde H_{k+1}$ の新しい列に $G_1,\ldots,G_k$ を作用させ、新しい回転 $G_{k+1}$ を 1 つ加えるだけでよい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
- Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
  - 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題
- 最良近似✓定理 7.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
  - ピタゴラスの定理✓補題 4.4・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
- 次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
  - 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
    階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
  - 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式
    行列の積定義 4.1・行列と連立一次方程式
  - 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
Givens 回転の性質✓命題 3.4・QR 分解
QR 分解による最小二乗解✓定理 5.1・最小二乗問題

これを使っている定理証明で参照している 1 件

残差多項式✓補題 4.1・Krylov 部分空間法 II

GMRES の最小残差性と実装

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件