時間反転対称なハミルトニアンの実表示

定理 7.1（「対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}$ を可分な複素 Hilbert 空間、 $T$ を反ユニタリ作用素とする。

$T^2=+1$ ならば、 $Te_n=e_n$ を満たす正規直交基底 $\{e_n\}$ が存在する。この基底に関して $T$ は成分の複素共役 $K$ に等しい。さらに、 $T$ と可換な自己共役作用素 $H$ （有界、または基底が $D(H)$ に入る場合）の行列要素 $\langle e_m,He_n\rangle$ はすべて実数である。つまり $H$ は実対称行列で表される。
$\dim\mathcal{H}=2m<\infty$ 、 $T^2=-1$ とし、 $H$ を $T$ と可換な Hermite 行列とする。このとき、正規直交基底 $\{\psi_1,\ldots,\psi_m,T\psi_1,\ldots,T\psi_m\}$ が存在し、この基底での $H$ の行列は

\begin{pmatrix}A&B\\-\bar B&\bar A\end{pmatrix},\qquad A^{*}=A,\quad B^{\mathsf T}=-B

の形をとる（ $A,B$ は $m\times m$ 複素行列）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
- 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
- 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
$T$ で閉じた有限次元部分空間の次元✓補題 6.2・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
- $\psi$ と $T\psi$ は直交する✓補題 6.1・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
- 反ユニタリ作用素の基本性質✓命題 3.2・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退（上で展開済み）
反ユニタリ作用素の基本性質✓命題 3.2・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
- 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。