数学 › 特殊関数と漸近解析 › 直交多項式

Legendre 多項式の基本事項

命題 7.3（「直交多項式」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\int_{-1}^1\mathcal P_n^2dx=\frac2{2n+1}$ 。
$\mathcal P_n(1)=1$ 、 $\mathcal P_n(-1)=(-1)^n$ 。
$\mathcal P_n$ は Legendre の微分方程式 $\bigl((1-x^2)y'\bigr)'+n(n+1)y=0$ を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Rodrigues の公式✓定理 7.2・直交多項式
- 直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理証明で参照している 2 件

軸対称調和関数は Legendre 多項式✓命題 3.3・球面調和関数と Legendre 関数
球 Bessel 関数の基本性質✓命題 6.2・球面調和関数と Legendre 関数

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