数学 › 特殊関数と漸近解析 › 球面調和関数と Legendre 関数

球 Bessel 関数の基本性質

命題 6.2（「球面調和関数と Legendre 関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

（Poisson の積分表示） $j_l(x)=\dfrac{x^l}{2^{l+1}l!}\displaystyle\int_{-1}^1\cos(xt)\,(1-t^2)^l\,dt$ 。とくに $j_l$ は実数値で、 $|j_l(x)|\le\dfrac{|x|^l}{(2l+1)!!}$ 、 $j_l(x)=\dfrac{x^l}{(2l+1)!!}\bigl(1+O(x^2)\bigr)$ 。
$y=j_l(x)$ は $x^2y''+2xy'+\bigl(x^2-l(l+1)\bigr)y=0$ を満たす。
（Rayleigh の公式） $j_l(x)=(-x)^l\Bigl(\dfrac1x\dfrac d{dx}\Bigr)^l\dfrac{\sin x}x$ 。
$j_{l+1}=-j_l'+\dfrac lxj_l$ 。 $x\to\infty$ で $j_l(x)=\dfrac{\sin(x-l\pi/2)}x+O(x^{-2})$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Legendre 多項式の基本事項✓命題 7.3・直交多項式
- Rodrigues の公式✓定理 7.2・直交多項式
  - 直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

平面波の部分波展開✓定理 7.1・球面調和関数と Legendre 関数
平面波の展開✓補題 4.1・散乱理論

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