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平面波の部分波展開

定理 7.1（「球面調和関数と Legendre 関数」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 170 件、定義なども含めて 197 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 球 Bessel 関数定義 6.1・球面調和関数と Legendre 関数
• 再生核と |𝒫ₗ| ≤ 1✓系 4.2・球面調和関数と Legendre 関数
• 球 Bessel 関数の基本性質✓命題 6.2・球面調和関数と Legendre 関数

  • Legendre 多項式の基本事項✓命題 7.3・直交多項式

    • Rodrigues の公式✓定理 7.2・直交多項式

      • 直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式 この先をたどる →
• Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数

  • Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 平行移動の連続性✓補題 2.2・フーリエ級数

      • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
• 加法定理✓定理 4.1・球面調和関数と Legendre 関数

  • 次数の違う球面調和関数は直交する✓命題 2.4・球面調和関数と Legendre 関数

    • 発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則

      • n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数 この先をたどる →
      • 発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則 この先をたどる →
  • 球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 軸対称な球面調和関数✓系 3.4・球面調和関数と Legendre 関数

    • 回転に関する固有空間は一次元✓補題 3.1・球面調和関数と Legendre 関数
    • 軸対称調和関数は Legendre 多項式✓命題 3.3・球面調和関数と Legendre 関数

      • S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 多項式の球面への制限✓系 2.3・球面調和関数と Legendre 関数 この先をたどる →
      • 次数の違う球面調和関数は直交する✓命題 2.4・球面調和関数と Legendre 関数（上で展開済み）
      • 直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式 この先をたどる →
      • Legendre 多項式の基本事項✓命題 7.3・直交多項式（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 平面波の展開✓補題 4.1・散乱理論