数学 › 特殊関数と漸近解析 › 球面調和関数と Legendre 関数
軸対称な球面調和関数
単位ベクトル を固定する全ての回転で不変な は、定数 により と書ける。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 162 件、定義なども含めて 188 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 回転に関する固有空間は一次元✓補題 3.1・球面調和関数と Legendre 関数
軸対称調和関数は Legendre 多項式✓命題 3.3・球面調和関数と Legendre 関数
S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
例外集合を許す変数変換公式✓系 5.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 単射な局所微分同相は微分同相✓補題 4.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
- C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 5.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
- 極座標側のボレル集合族✓補題 6.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
- リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
- 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
- ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
多項式の球面への制限✓系 2.3・球面調和関数と Legendre 関数
調和多項式の分解✓定理 2.2・球面調和関数と Legendre 関数
- Fischer 内積での随伴✓補題 2.1・球面調和関数と Legendre 関数
次数の違う球面調和関数は直交する✓命題 2.4・球面調和関数と Legendre 関数
発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式
グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
Legendre 多項式の基本事項✓命題 7.3・直交多項式
Rodrigues の公式✓定理 7.2・直交多項式
- 直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 加法定理✓定理 4.1・球面調和関数と Legendre 関数
- Funk–Hecke の定理✓定理 5.1・球面調和関数と Legendre 関数