Funk–Hecke の定理

定理 5.1（「球面調和関数と Legendre 関数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f\in C([-1,1])$ とする。任意の $Y\in H_l$ と $\xi\in S^2$ について

\int_{S^2}f(\xi\cdot\eta)\,Y(\eta)\,d\sigma(\eta)=\lambda_l\,Y(\xi),\qquad\lambda_l=2\pi\int_{-1}^1f(t)\,\mathcal{P}_l(t)\,dt.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 163 件、定義なども含めて 189 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

軸対称な球面調和関数✓系 3.4・球面調和関数と Legendre 関数
- 回転に関する固有空間は一次元✓補題 3.1・球面調和関数と Legendre 関数
- 軸対称調和関数は Legendre 多項式✓命題 3.3・球面調和関数と Legendre 関数
  - S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    例外集合を許す変数変換公式✓系 5.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 多項式の球面への制限✓系 2.3・球面調和関数と Legendre 関数
    調和多項式の分解✓定理 2.2・球面調和関数と Legendre 関数この先をたどる →
  - 次数の違う球面調和関数は直交する✓命題 2.4・球面調和関数と Legendre 関数
    発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則この先をたどる →
  - 直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - Legendre 多項式の基本事項✓命題 7.3・直交多項式
    Rodrigues の公式✓定理 7.2・直交多項式この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

部分波ごとの Kato 不等式✓命題 2.4・no-pair（Brown–Ravenhall）作用素

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