平面波の展開

補題 4.1（「散乱理論」§4）・ ✓公理まで証明済み

$P_l$ をルジャンドル多項式として、 $j_l(x)=\dfrac{1}{2i^l}\displaystyle\int_{-1}^{1}e^{ixt}P_l(t)\,dt$ と定める。このとき

e^{ikr\cos\theta}=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\,i^l\,j_l(kr)\,P_l(\cos\theta)

であり、 $j_l$ は次の性質をもつ。(a) $j_l$ は $x\ge0$ で有界で、方程式 $j_l''+\dfrac{2}{x}j_l'+\left(1-\dfrac{l(l+1)}{x^2}\right)j_l=0$ を満たす。(b) $x\to\infty$ で $j_l(x)=\dfrac{\sin(x-l\pi/2)}{x}+O(x^{-2})$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 171 件、定義なども含めて 198 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

球 Bessel 関数定義 6.1・球面調和関数と Legendre 関数
平面波の部分波展開✓定理 7.1・球面調和関数と Legendre 関数
- 球 Bessel 関数定義 6.1・球面調和関数と Legendre 関数
- 再生核と |𝒫ₗ| ≤ 1✓系 4.2・球面調和関数と Legendre 関数
- 球 Bessel 関数の基本性質✓命題 6.2・球面調和関数と Legendre 関数（上で展開済み）
- Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
  - Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    平行移動の連続性✓補題 2.2・フーリエ級数この先をたどる →
- 加法定理✓定理 4.1・球面調和関数と Legendre 関数
  - 次数の違う球面調和関数は直交する✓命題 2.4・球面調和関数と Legendre 関数
    発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則この先をたどる →
  - 球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 軸対称な球面調和関数✓系 3.4・球面調和関数と Legendre 関数
    回転に関する固有空間は一次元✓補題 3.1・球面調和関数と Legendre 関数
    軸対称調和関数は Legendre 多項式✓命題 3.3・球面調和関数と Legendre 関数この先をたどる →
球 Bessel 関数の基本性質✓命題 6.2・球面調和関数と Legendre 関数
- Legendre 多項式の基本事項✓命題 7.3・直交多項式
  - Rodrigues の公式✓定理 7.2・直交多項式
    直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

部分波展開✓定理 4.4・散乱理論

平面波の展開

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件