部分波展開

定理 4.4（「散乱理論」§4）・ ✓公理まで証明済み

中心力ポテンシャルの散乱状態は

\psi=\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\,i^l\,e^{i\delta_l}\,\frac{u_l(r)}{A_l\,kr}\,P_l(\cos\theta)

であり、散乱振幅は

f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\,e^{i\delta_l}\sin\delta_l\;P_l(\cos\theta)=\frac{1}{2ik}\sum_l(2l+1)\left(e^{2i\delta_l}-1\right)P_l(\cos\theta)

全断面積は

\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\sin^2\delta_l

である。ここで級数と $r\to\infty$ の極限の交換は、 $\delta_l$ が有限個を除いて $0$ のとき（たとえば到達距離 $R$ のポテンシャルで $l\gg kR$ の波がポテンシャルに届かない場合）は自明で、一般には $L^2$ の意味で成り立つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 172 件、定義なども含めて 199 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。