WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld

0. この記事の要点

波が、場所によって性質がゆるやかに変わる媒質の中を進むとき、その場その場の波長で波形をつなぎ合わせれば、おおよその形がつかめそうです。この記事は、その素朴な近似がどれだけ正しいかを誤差まで含めて証明し、近似が破れる折り返しの点でも正しくつなぐ方法を示します。最後に、量子力学で粒子のエネルギーが飛び飛びの値になる条件が、この近似から出ることを確かめます。

• $w''=(\lambda^2f(x)+g(x))w$ の解は、$\lambda\to\infty$ で $f^{-1/4}\exp(\pm\lambda\int\sqrt f\,dx)$ に近づきます（Liouville–Green 近似、量子力学では WKB 近似）。Liouville 変換で方程式を $W''=(\pm\lambda^2+\psi)W$ に直し、Volterra 型積分方程式を反復すると（Volterra 型とは、積分の端点が変数になっている形のことです）、相対誤差は $e^{\mathcal V/(2\lambda)}-1$（振動型では $e^{\mathcal V/\lambda}-1$）で抑えられます。$\mathcal V$ は誤差制御関数の全変動（変化量の絶対値を足し合わせた総量）で、計算できる量です。
• $f$ の零点（転回点）では $f^{-1/4}$ が発散し、この近似は破綻します。Langer 変換 $\frac23\zeta^{3/2}=\int_{x_0}^x\sqrt f\,dt$ は転回点を含めて滑らかで、方程式を $W''=(\lambda^2\zeta+\phi(\zeta))W$、すなわち摂動された Airy 方程式に変えます。
• 摂動された Airy 方程式の減衰解を、Airy 関数との比較と両側の Liouville–Green 近似で追跡すると、接続公式 $\frac12f^{-1/4}e^{-\lambda\int_{x_0}^x\sqrt f}\longleftrightarrow|f|^{-1/4}\cos\bigl(\lambda\int_x^{x_0}\sqrt{|f|}-\frac\pi4\bigr)$ が誤差 $o(1)$ で成り立ちます。位相の $-\frac\pi4$ は Airy 関数から来ます。
• 井戸型ポテンシャルの両端の転回点で接続公式を使い、二つの減衰解の Wronskian を比べると、固有値は $\lambda\int_{x_-}^{x_+}\sqrt{E-V}\,dx=(n+\frac12)\pi+o(1)$ をみたします（Bohr–Sommerfeld の量子化条件）。調和振動子ではこれが厳密に正しい値を与えます。

この記事で使う事前知識

• Airy 関数: $y''=xy$ の解で、$x\to+\infty$ で減衰する $\operatorname{Ai}$ のこと。転回点の近くの局所模型になります。→ Airy 関数
• Wronskian: 2 階方程式の二つの解 $u,v$ に対する $uv'-u'v$。一次独立かどうかの判定に使います。
• 漸近解析: パラメータが極限に行くときの関数の振る舞いを、主要項と誤差で調べる方法。→ 漸近解析
• 一様収束: 点によらない同じ速さで関数列が極限に近づくこと。逐次近似の収束の議論で使います。→ 一様収束

1. 動機

量子力学の 1 次元 Schrödinger 方程式 $-\frac{\hbar^2}{2m}u''+V(x)u=Eu$ は、$\lambda=\sqrt{2m}/\hbar$ とおくと

$$u''=\lambda^2\bigl(V(x)-E\bigr)u$$

と書けます。$\hbar\to0$（古典極限）は $\lambda\to\infty$ に対応します。$V$ が定数なら解は $e^{\pm\lambda\sqrt{V-E}\,x}$ で、$V$ がゆっくり変わるなら「局所的な波数を積分した位相」$e^{\pm\lambda\int\sqrt{V-E}\,dx}$ が近似解になりそうです。実際に代入してみると、振幅にも補正 $(V-E)^{-1/4}$ が必要で、これが Wentzel・Kramers・Brillouin（WKB）の近似です。数学では、19 世紀に Liouville と Green が同じ近似を導いていたので Liouville–Green（LG）近似と呼びます。

この近似は二つの点で注意を要します。第一に、どの程度正しいのかを誤差の上界で言えるかどうか。第二に、$V(x)=E$ となる転回点（古典的な粒子が折り返す点）では振幅 $(V-E)^{-1/4}$ が発散し、近似が意味を失うことです。古典的に許される領域（振動解）と禁止される領域（指数解）を、転回点を越えてどうつなぐか。この「接続公式」から、束縛状態のエネルギーを与える Bohr–Sommerfeld の量子化条件が出てきます。

この章では、前章までに準備した Airy 関数（Bessel・Airy・Whittaker 関数）と、その漸近形（漸近解析）を使って、これらを証明します。

2. Liouville 変換

ねらいは、係数が変化する方程式を、変数の取り替えで「定数係数の方程式に小さな項 $\psi$ が加わった形」に直すことです。$\psi=0$ なら解は $e^{\pm\lambda\xi}$ や $e^{\pm i\lambda\xi}$ と厳密に分かるので、近似の誤差は $\psi$ だけで測れるようになります。

補題 2.1（Liouville 変換）✓

区間 $I$ 上で $f\in C^2$ が $0$ にならず、$g$ が連続とする。$\xi(x)=\int^x|f(t)|^{1/2}dt$、$w=|f|^{-1/4}W(\xi)$ とおくと、$w''=(\lambda^2f+g)w$ は

$$\frac{d^2W}{d\xi^2}=\bigl(\lambda^2\operatorname{sgn}f+\psi\bigr)W,\qquad\psi=\frac{g}{|f|}-|f|^{-3/4}\frac{d^2}{dx^2}|f|^{-1/4}$$

と同値である（$\psi$ は $x$ の関数を $\xi$ の関数とみたもの）。

証明（補題 2.1）

$h=|f|^{-1/4}$ とおくと $\xi'=|f|^{1/2}=h^{-2}$ です。$w=hW(\xi(x))$ を微分すると $w'=h'W+hW_\xi h^{-2}=h'W+h^{-1}W_\xi$、

$$w''=h''W+h'h^{-2}W_\xi+(h^{-1})'W_\xi+h^{-1}h^{-2}W_{\xi\xi}=h''W+h^{-3}W_{\xi\xi}$$

（$(h^{-1})'=-h'h^{-2}$ で $W_\xi$ の項が消える）。方程式に代入して $h^3$ を掛けると $W_{\xi\xi}=h^4(\lambda^2f+g)W-h^3h''W$ で、$h^4=1/|f|$ から主張が出ます。

∎

$\psi\,d\xi=\psi|f|^{1/2}dx$ なので、

$$\mathcal F(x)=\int^x\Bigl(\frac{g}{|f|^{1/2}}-|f|^{-1/4}\frac{d^2}{dx^2}|f|^{-1/4}\Bigr)dx$$

を誤差制御関数と呼びます。区間 $[x_1,x_2]$ での全変動 $\mathcal V_{x_1,x_2}(\mathcal F)=\int_{x_1}^{x_2}\bigl|\frac{g}{|f|^{1/2}}-|f|^{-1/4}(|f|^{-1/4})''\bigr|dx=\int|\psi|\,d\xi$ が、以下の誤差評価のすべてを決めます。$\lambda$ に依存しないことに注意してください。

3. Liouville–Green 近似の誤差評価

定理 3.1（Liouville–Green 近似の誤差評価）✓

$\psi$ を区間 $(\alpha,\beta)$（端点は無限でもよい）上の連続関数、$\lambda>0$ とし、$\mathcal V_{\xi_1,\xi_2}=\bigl|\int_{\xi_1}^{\xi_2}|\psi(\eta)|d\eta\bigr|$ と書く。

1. 指数型。 $\mathcal V_{\xi,\beta}\lt\infty$ なら、$W''=(\lambda^2+\psi)W$ は解 $W_1=e^{-\lambda\xi}(1+\varepsilon_1(\xi))$ をもち、

$$|\varepsilon_1(\xi)|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1,\qquad|\varepsilon_1'(\xi)|\le2\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1\bigr).$$

同様に $\mathcal V_{\alpha,\xi}\lt\infty$ なら解 $W_2=e^{\lambda\xi}(1+\varepsilon_2)$ があり、$\varepsilon_2$ は $\mathcal V_{\alpha,\xi}$ で同じ形に抑えられる。 2. 振動型。 $\gamma\in[\alpha,\beta]$ で $\mathcal V_{\xi,\gamma}\lt\infty$ なら、$W''=(-\lambda^2+\psi)W$ は解 $W_\pm=e^{\pm i\lambda\xi}(1+\varepsilon_\pm(\xi))$ をもち、

$$|\varepsilon_\pm(\xi)|\le e^{\mathcal V_{\xi,\gamma}/\lambda}-1,\qquad|\varepsilon_\pm'(\xi)|\le\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\gamma}/\lambda}-1\bigr).$$

$\gamma$ が有限なら $\varepsilon_\pm(\gamma)=\varepsilon_\pm'(\gamma)=0$。$\psi$ が実数値なら $W_-=\overline{W_+}$。

証明の方針は、$\psi$ の項を積分方程式の形で右辺に移し、$h_0=1$ から出発して逐次近似することです。$\mathcal V_{\eta,\beta}$ を $\eta$ で微分すると $-|\psi(\eta)|$ になるので、$k$ 回目の補正は $\int\mathcal V^k\,d\mathcal V$ の形になり、$k!$ で割られていきます。これが指数関数 $e^{\mathcal V/(2\lambda)}$ の展開に対応します。

証明（定理 3.1）

1。 $W=e^{-\lambda\xi}h$ とおくと、方程式は $h''-2\lambda h'=\psi h$ になります。$\xi\le\eta$ について $K(\xi,\eta)=\frac{1-e^{-2\lambda(\eta-\xi)}}{2\lambda}$ とおき、積分方程式

$$h(\xi)=1+\int_\xi^\beta K(\xi,\eta)\psi(\eta)h(\eta)\,d\eta$$

を考えます。$u=\psi h$ として $I(\xi)=\int_\xi^\beta K(\xi,\eta)u(\eta)d\eta$ を微分すると、$K(\xi,\xi)=0$ なので $I'=-\int_\xi^\beta e^{-2\lambda(\eta-\xi)}u\,d\eta$、$I''=u-2\lambda\int_\xi^\beta e^{-2\lambda(\eta-\xi)}u\,d\eta$ で、$I''-2\lambda I'=u$ です。よって積分方程式の有界な解は $h''-2\lambda h'=\psi h$ をみたします。

$h_0=1$、$h_{k+1}=1+\int_\xi^\beta K\psi h_k\,d\eta$ と反復します。$0\le K\le\frac1{2\lambda}$ と $\frac{d}{d\eta}\mathcal V_{\eta,\beta}=-|\psi(\eta)|$ から、帰納法で

$$|h_{k+1}(\xi)-h_k(\xi)|\le\frac1{2\lambda}\int_\xi^\beta|\psi(\eta)|\frac{1}{k!}\Bigl(\frac{\mathcal V_{\eta,\beta}}{2\lambda}\Bigr)^kd\eta=\frac1{(k+1)!}\Bigl(\frac{\mathcal V_{\xi,\beta}}{2\lambda}\Bigr)^{k+1}$$

です。よって $h_k$ は一様収束し、極限 $h$ は積分方程式の解で、$|h-1|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1$、$|h|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}$ です。$\varepsilon_1=h-1$ とおけばよく、導関数は $|h'|=|I'|\le\int_\xi^\beta|\psi(\eta)|e^{\mathcal V_{\eta,\beta}/(2\lambda)}d\eta=2\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1\bigr)$ です。$W_2$ は $\xi\mapsto-\xi$ と向きを反転して同じ議論をすれば得られます。

2。 $W=e^{i\lambda\xi}h$ とおくと $h''+2i\lambda h'=\psi h$ です。$K(\xi,\eta)=\frac{e^{2i\lambda(\eta-\xi)}-1}{2i\lambda}$ とすると $|K|\le\frac1\lambda$ で、1 と同じ計算により $h=1+\int_\xi^\gamma K\psi h\,d\eta$（$\gamma$ が $\xi$ の左右どちらにあっても向き付きの積分として）の解は $h''+2i\lambda h'=\psi h$ をみたします。反復の評価は $\frac1{2\lambda}$ を $\frac1\lambda$ に替えるだけで、$h'=-\int_\xi^\gamma e^{2i\lambda(\eta-\xi)}\psi h\,d\eta$ から導関数の評価も同様です。$\gamma$ が有限なら積分方程式から $h(\gamma)=1$、$h'(\gamma)=0$ です。積分方程式の有界な解は一意（差 $d$ が $|d(\xi)|\le\frac1\lambda|\int_\xi^\gamma|\psi||d|\,d\eta|$ をみたし、反復すれば $d=0$）で、$\psi$ が実数値なら $\overline{h}$ は $e^{-i\lambda\xi}$ に対する積分方程式の解なので $W_-=\overline{W_+}$ です。

∎

Bessel・Airy・Whittaker 関数の 定理 6.7［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ は、振動型で $\lambda=1$、$\gamma=\infty$ の場合を実数の形に書いたものです。

系 3.2（x 変数での Liouville–Green 近似）✓

区間 $(a,b)$ 上で $f\in C^2$、$f>0$、$g$ は連続とし、$\xi=\int^x f^{1/2}dt$ とする。$\mathcal V_{x,b}(\mathcal F)\lt\infty$ なら、$w''=(\lambda^2f+g)w$ は

$$w(x)=f(x)^{-1/4}e^{-\lambda\xi(x)}\bigl(1+\varepsilon(x)\bigr),\qquad|\varepsilon(x)|\le\exp\Bigl(\frac{\mathcal V_{x,b}(\mathcal F)}{2\lambda}\Bigr)-1$$

の形の解をもつ。$f\lt0$ の区間では、$\xi=\int^x|f|^{1/2}dt$ として解 $|f|^{-1/4}e^{\pm i\lambda\xi}(1+\varepsilon_\pm)$、$|\varepsilon_\pm|\le e^{\mathcal V(\mathcal F)/\lambda}-1$ がある。

証明（系 3.2）

補題 2.1 で方程式を $W_{\xi\xi}=(\pm\lambda^2+\psi)W$ に直し、定理 3.1 を当てます。$\int|\psi|d\xi=\mathcal V(\mathcal F)$ です。

∎

$\lambda\to\infty$ で $\mathcal V$ を固定すれば、相対誤差は $\mathcal V/(2\lambda)+O(\lambda^{-2})$ の程度です。量子力学の言葉では、誤差は $\hbar$ に比例し、その係数が「ポテンシャルの曲がり具合」を測る $\mathcal V(\mathcal F)$ です。

補題 3.3（Airy 関数の特徴づけと誤差つき漸近形）✓

$x\gt0$ で $\zeta=\frac23x^{3/2}$ とする。

1. $x_1\ge0$ とし、$y$ を $(x_1,\infty)$ 上の $y''=xy$ の解で $x^{1/4}e^{\zeta}y(x)\to1$（$x\to\infty$）となるものとすると、$y=2\sqrt\pi\operatorname{Ai}$ である。
2. $x\gt0$ で

$$\operatorname{Ai}(x)=\frac{e^{-\zeta}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}}\bigl(1+\varepsilon(x)\bigr),\qquad|\varepsilon(x)|\le e^{5/(72\zeta)}-1 .$$

証明（補題 3.3）

1. 命題 4.2［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ の 1 から $\operatorname{Ai}$ は $y''=xy$ の解で、3 から $x\gt0$ で $\operatorname{Ai}\gt0$、4 から $x^{1/4}e^{\zeta}\cdot2\sqrt\pi\operatorname{Ai}(x)\to1$ です。とくに $x_2\ge\max(x_1,1)$ を大きくとれば、$x\ge x_2$ で $\frac{1}{4\sqrt\pi}x^{-1/4}e^{-\zeta}\le\operatorname{Ai}(x)\le\frac{1}{\sqrt\pi}x^{-1/4}e^{-\zeta}$ です。$u=y-2\sqrt\pi\operatorname{Ai}$ とおくと $u$ は $(x_1,\infty)$ 上の解で、$x^{1/4}e^{\zeta}u(x)\to0$、したがって下からの評価により $u/\operatorname{Ai}\to0$ です。Wronskian $\mathcal W=\operatorname{Ai}\,u'-\operatorname{Ai}'u$ は（方程式に 1 階の項がないので）定数で、$x\ge x_2$ で $(u/\operatorname{Ai})'=\mathcal W/\operatorname{Ai}^2$ です。$\mathcal W\ne0$ なら

$$\Bigl|\frac{u(x)}{\operatorname{Ai}(x)}-\frac{u(x_2)}{\operatorname{Ai}(x_2)}\Bigr|=|\mathcal W|\int_{x_2}^x\frac{dt}{\operatorname{Ai}(t)^2}\ge\pi|\mathcal W|\int_{x_2}^xt^{1/2}e^{2\zeta(t)}dt\to\infty$$

となり、$u/\operatorname{Ai}\to0$ に反します。よって $\mathcal W=0$ で、$u/\operatorname{Ai}$ は $[x_2,\infty)$ で定数、その極限が $0$ なので $u=0$（$x\ge x_2$）です。$u(x_3)=u'(x_3)=0$（$x_3\gt x_2$）から、解の一意性（定理 3.2［解の存在と一意性］。1 階の系 $(u,u')'=(u',xu)$ に書き直す）により $(x_1,\infty)$ 全体で $u=0$ です。

2. 系 3.2 を $\lambda=1$、$f=x$、$g=0$、区間 $(0,\infty)$、$\xi=\zeta$ に使います。$(x^{-1/4})''=\frac5{16}x^{-9/4}$ なので誤差制御関数の被積分関数の絶対値は $\frac5{16}x^{-5/2}$ で、

$$\mathcal V_{x,\infty}(\mathcal F)=\int_x^\infty\frac5{16}t^{-5/2}dt=\frac5{24}x^{-3/2}=\frac5{36\zeta}$$

です。よって解 $w=x^{-1/4}e^{-\zeta}(1+\varepsilon)$、$|\varepsilon|\le e^{5/(72\zeta)}-1$ があり、$x\to\infty$ で $\varepsilon\to0$、すなわち $x^{1/4}e^{\zeta}w\to1$ です。1 から $w=2\sqrt\pi\operatorname{Ai}$ で、主張を得ます。

∎

例 3.4（Airy 関数の誤差つき漸近形）

$\operatorname{Ai}''=x\operatorname{Ai}$ は $\lambda=1$、$f=x$、$g=0$ の場合で、補題 3.3 の 2 が

$$\operatorname{Ai}(x)=\frac{e^{-\zeta}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}}\bigl(1+\varepsilon(x)\bigr),\qquad|\varepsilon(x)|\le e^{5/(72\zeta)}-1\qquad\Bigl(\zeta=\frac23x^{3/2}\Bigr)$$

を与えます。命題 4.2［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ の 4 は $x\to\infty$ での比の極限しか述べていませんが、こちらは誤差の大きさまで明示しています。たとえば $x=2$（$\zeta\approx1.886$）で $|\varepsilon|\le0.038$ という、すべての $x>0$ で使える評価になります。実際の値は $\operatorname{Ai}(2)\approx0.03492$、主要項は約 $0.03600$ で、$|\varepsilon|\approx0.030$ です。

4. 転回点と Langer 変換

定義 4.1（転回点）↗

$f$ の零点 $x_0$ を $w''=(\lambda^2f+g)w$ の転回点という。$f'(x_0)\neq0$ のとき単純な転回点という。

転回点の近くでは $|f|^{-1/4}$ が発散し、系 3.2 の誤差制御関数も $\int|f|^{-1/4}(|f|^{-1/4})''dx\sim\int|x-x_0|^{-5/2}dx$ と発散します。LG 近似は転回点から $\lambda$ によらない距離だけ離れたところでしか使えません。転回点を含めて扱うには、局所模型である Airy 方程式 $W''=\lambda^2\zeta W$ に方程式全体を写すのが自然です。

以下、$x_0\in(a,b)$ を単純な転回点とし、$f,g\in C^\infty((a,b))$、$f(x)=(x-x_0)f_1(x)$、$f_1>0$ とします（$x\gt x_0$ が指数型、$x\lt x_0$ が振動型の領域）。

補題 4.2（Langer 変換）✓

$x\ge x_0$ では $\frac23\zeta^{3/2}=\int_{x_0}^xf(t)^{1/2}dt$、$x\le x_0$ では $\frac23(-\zeta)^{3/2}=\int_x^{x_0}(-f(t))^{1/2}dt$ により $\zeta=\zeta(x)$ を定める。

1. $\zeta$ は $(a,b)$ 上 $C^\infty$ 級で、$\zeta'>0$、$\zeta(x_0)=0$、$\zeta'(x_0)=f'(x_0)^{1/3}$。$\Phi=\zeta'^2$ は $C^\infty$ 級の正の関数で、$\zeta\Phi=f$ をみたす。
2. $w=\Phi^{-1/4}W(\zeta)=(\zeta/f)^{1/4}W(\zeta)$ とおくと、$w''=(\lambda^2f+g)w$ は

$$\frac{d^2W}{d\zeta^2}=\bigl(\lambda^2\zeta+\phi(\zeta)\bigr)W,\qquad\phi=\frac{g}{\Phi}-\Phi^{-3/4}\frac{d^2}{dx^2}\Phi^{-1/4}$$

と同値で、$\phi$ は転回点を含めて連続である。

証明（補題 4.2）

1: $J(x)=\int_0^1\sqrt{s\,f_1(x_0+s(x-x_0))}\,ds$ とおくと、$f_1>0$ が $C^\infty$ 級なので $J$ も $C^\infty$ 級で正です（積分記号下の微分）。$x>x_0$ で $t=x_0+s(x-x_0)$ と置換すると $\int_{x_0}^x\sqrt{(t-x_0)f_1(t)}\,dt=(x-x_0)^{3/2}J(x)$、$x\lt x_0$ で $t=x_0-s(x_0-x)$ と置換すると $\int_x^{x_0}\sqrt{(x_0-t)f_1(t)}\,dt=(x_0-x)^{3/2}J(x)$ で、同じ $J$ が現れます。したがって両側で

$$\zeta(x)=(x-x_0)\Bigl(\frac32J(x)\Bigr)^{2/3}$$

で、これは $C^\infty$ 級です。$J(x_0)=\sqrt{f_1(x_0)}\int_0^1s^{1/2}ds=\frac23\sqrt{f_1(x_0)}$ から $\zeta'(x_0)=f_1(x_0)^{1/3}=f'(x_0)^{1/3}>0$。$x\neq x_0$ で定義式を微分すると $|\zeta|^{1/2}\zeta'=|f|^{1/2}$ なので $\zeta'>0$、$\zeta'^2=f/\zeta$ です。$\Phi=\zeta'^2$ は $C^\infty$ 級で正です。

2: 補題 2.1 の証明と同じ計算を $h=\Phi^{-1/4}$、$\zeta'=\Phi^{1/2}=h^{-2}$ で行うと $W_{\zeta\zeta}=h^4(\lambda^2f+g)W-h^3h''W$ で、$h^4f=f/\Phi=\zeta$ です。$\Phi$ が $C^\infty$ 級で正なので $\phi$ は連続です。

∎

LG 近似では転回点で $f^{-1/4}$ が発散しましたが、Langer 変換では振幅因子 $(\zeta/f)^{1/4}=\Phi^{-1/4}$ が滑らかです。特異性は、すべて Airy 方程式の側（$\lambda^2\zeta$）に移されています。

5. 接続公式

摂動された Airy 方程式の、指数型の側で減衰する解が、振動型の側でどうなるかを調べます。

定理 5.1（接続公式（Langer 変数））✓

$-\infty\lt\zeta_a\lt0\lt\zeta_b\le\infty$、$\phi$ を $(\zeta_a,\zeta_b)$ 上の連続な実数値関数とし、$(\zeta_a,\min(1,\zeta_b))$ 上で $|\phi|\le M$、かつ $H=\int_0^{\zeta_b}|\phi(\zeta)|\zeta^{-1/2}d\zeta\lt\infty$ とする。$\lambda\ge1$ について、$W''=(\lambda^2\zeta+\phi)W$ の解 $W_\lambda$ で

$$W_\lambda(\zeta)=\zeta^{-1/4}e^{-\frac23\lambda\zeta^{3/2}}\bigl(1+\varepsilon(\zeta)\bigr),\qquad\varepsilon(\zeta)\to0\quad(\zeta\to\zeta_b)$$

となるものがただ一つある。さらに $0\lt c\lt|\zeta_a|$ を固定すると、$\zeta\in(\zeta_a,-c]$ で

$$W_\lambda(\zeta)=2|\zeta|^{-1/4}\Bigl[\cos\Bigl(\frac23\lambda|\zeta|^{3/2}-\frac\pi4\Bigr)+r_1\Bigr],\qquad W_\lambda'(\zeta)=2\lambda|\zeta|^{1/4}\Bigl[\sin\Bigl(\frac23\lambda|\zeta|^{3/2}-\frac\pi4\Bigr)+r_2\Bigr]$$

が成り立ち、$|r_1|,|r_2|\le\eta(\lambda)$ である。ここで $\eta(\lambda)\to0$（$\lambda\to\infty$）は $M,H,\zeta_a,c$ だけで決まる。

証明の方針は次のとおりです。まず $s=\lambda^{2/3}\zeta$ と拡大して、$\lambda$ を方程式から消します。転回点から離れた右側では Liouville–Green 近似で減衰解 $Y_+$ を押さえ、これを Airy 方程式の減衰解 $A$ と増大解 $B$ の組み合わせ $aA+bB$ として書きます（係数を定数でなく関数とみる、定数変化法です）。中央の狭い区間では $p$ が小さいので、Gronwall の不等式（係数の変化がゆるやかな間は解の大きさが指数的にしか変わらない、という評価）で $a,b$ がほとんど動かないことを示し、左側で再び Liouville–Green 近似を使って $\cos(Z-\frac\pi4)$ の形を読み取ります。

証明（定理 5.1）

以下、$C$ は $S,\lambda,\phi$ によらない定数を表し、行ごとに値が変わってよいとします。

拡大変数。 $s=\lambda^{2/3}\zeta$、$W(\zeta)=\lambda^{1/6}Y(s)$ とおくと、方程式は

$$Y''=(s+p(s))Y,\qquad p(s)=\lambda^{-4/3}\phi(\lambda^{-2/3}s)$$

になり、$Z(s)=\frac23|s|^{3/2}$ とすると主張は $Y$ について「$s>0$ で $Y=s^{-1/4}e^{-Z}(1+\varepsilon)$」「$s\lt0$ で $Y=2|s|^{-1/4}[\cos(Z-\frac\pi4)+r_1]$、$Y'=2|s|^{1/4}[\sin(Z-\frac\pi4)+r_2]$」と同値です。$S\ge1$ を固定します。$f=s$、$g=p$ の誤差制御関数の被積分関数は $|p|s^{-1/2}+\frac5{16}|s|^{-5/2}$ 以下で、$s=\lambda^{2/3}\zeta$ と戻すと $\int|p||s|^{-1/2}ds=\lambda^{-1}\int|\phi||\zeta|^{-1/2}d\zeta$ です。そこで $H_-=\int_{\zeta_a}^0|\phi||\zeta|^{-1/2}d\zeta\le2M|\zeta_a|^{1/2}$ として

$$\nu=\frac5{24}S^{-3/2}+\frac{H+H_-}{\lambda},\qquad\theta=e^\nu-1+S^{-3/2}$$

とおくと、$|s|\ge S$ の部分での全変動は $\nu$ 以下です。

1. 右側。 系 3.2（$\lambda=1$、右端を基点）から、解 $Y_+=s^{-1/4}e^{-Z}(1+e_+)$（$s\ge S$）があり、これが $W_\lambda$ に対応する解です（一意性は、$\varepsilon\to0$ となる解の差が $e^{\frac23\lambda\zeta^{3/2}}$ 型の増大解の成分をもてないことから）。定理 3.1 の導関数の評価と $\frac{d}{ds}(s^{-1/4}e^{-Z})=-s^{1/4}e^{-Z}(1+\frac14s^{-3/2})$ から、$s\ge S$ で

$$|e_+|\le\theta,\qquad Y_+'=-s^{1/4}e^{-Z}(1+\tilde e_+),\quad|\tilde e_+|\le4\theta .$$

同じ評価は $p=0$ の場合にも成り立ちます。$p=0$ のときの解は、系 3.2 の誤差が $s\to\infty$ で $0$ になるので $s^{1/4}e^{Z}Y_+\to1$ をみたし、補題 3.3 の 1 により $A(s)=2\sqrt\pi\operatorname{Ai}(s)$ に一致します。よって $A=s^{-1/4}e^{-Z}(1+e_A)$、$A'=-s^{1/4}e^{-Z}(1+\tilde e_A)$、$|e_A|\le\theta$、$|\tilde e_A|\le4\theta$ をみたします。

参照解 $B$。 Airy 方程式の解 $B$ を、定理 3.1 の 1 の $W_2$（左端 $s=1$ を基点）として $s\ge1$ で $B=s^{-1/4}e^{Z}(1+e_B)$ と取ります。$s\ge1$ の全変動は $\frac5{24}$ 以下なので $|B|\le Cs^{-1/4}e^Z$、$|B'|\le Cs^{1/4}e^Z$。$s\le-1$ では、定理 3.1 の 2（基点 $-\infty$）の二つの解の一次結合なので $|B|\le C|s|^{-1/4}$、$|B'|\le C|s|^{1/4}$、$[-1,1]$ では連続性から有界です。Wronskian $\mathcal W=AB'-A'B$ は定数で、$s\to\infty$ の値から $0$ でありません（$e_A,\tilde e_A\to0$ と $|e_B|\le e^{5/48}-1$ による）。

2. $s=S$ での分解。 $Y_+=aA+bB$、$Y_+'=aA'+bB'$ となる関数 $a(s),b(s)$ を $a=W(Y_+,B)/\mathcal W$、$b=W(A,Y_+)/\mathcal W$ で定めます。方程式から $a'=-pY_+B/\mathcal W$、$b'=pAY_+/\mathcal W$ です。1 の評価から

$$|W(A,Y_+)(S)|\le C\theta\,e^{-2Z(S)},\qquad|W(Y_+,B)(S)-\mathcal W|=|W(Y_+-A,B)(S)|\le C\theta$$

なので、$|b(S)|\le C\theta e^{-2Z(S)}$、$|a(S)-1|\le C\theta$ です。

3. 中央 $[-S,S]$。 $\lambda$ が十分大きく $\lambda^{-2/3}S\lt\min(1,\zeta_b,|\zeta_a|)$ なら、そこで $|p|\le M\lambda^{-4/3}$ です。$[-S,S]$ 上の $|A|,|B|$ の上限を $K_S$ とすると、$|a'|+|b'|\le2M\lambda^{-4/3}K_S^2(|a|+|b|)/|\mathcal W|$ で、Gronwall の不等式（補題 3.1［解の存在と一意性］）を $s=S$ から左へ使えば、

$$|a(-S)-a(S)|+|b(-S)-b(S)|\le\rho(S,\lambda),\qquad\rho(S,\lambda)\to0\quad(\lambda\to\infty,\ S\text{ 固定})$$

です。

4. $s=-S$ での値。 前章の 定理 6.2［漸近解析］ から $A(s)=2|s|^{-1/4}[\cos(Z-\frac\pi4)+o(1)]$（$s\to-\infty$）です。一方 定理 3.1 の 2（$p=0$、基点 $-\infty$）から $A=2\operatorname{Re}\bigl(c|s|^{-1/4}e^{iZ}(1+e(s))\bigr)$、$|e(s)|\le e^{\frac5{24}|s|^{-3/2}}-1$ と書け、比べて $c=e^{-i\pi/4}$ です。よって $s\le-S$ で

$$A=2|s|^{-1/4}\bigl[\cos(Z-\tfrac\pi4)+O(S^{-3/2})\bigr],\qquad A'=2|s|^{1/4}\bigl[\sin(Z-\tfrac\pi4)+O(S^{-3/2})\bigr]$$

（$\frac{d}{ds}Z=-|s|^{1/2}$ に注意）。2、3 と $|B(-S)|\le CS^{-1/4}$、$|B'(-S)|\le CS^{1/4}$ から、$Y_+(-S)$、$Y_+'(-S)$ はこの形に、誤差 $C(\theta+\rho)$ を加えたもので表されます。

5. 左側。 $[\lambda^{2/3}\zeta_a,-S]$ で 定理 3.1 の 2 を基点 $\gamma=-S$ で使い、$L_\pm=|s|^{-1/4}e^{\pm iZ}(1+\eta_\pm)$、$|\eta_\pm|\le\theta$、$\eta_\pm(-S)=\eta_\pm'(-S)=0$ を得ます。$Y_+$ は実数値なので $Y_+=2\operatorname{Re}(c_+L_+)$ と書け、$s=-S$ での値と導関数を比べると（$L_\pm$ の Wronskian は $\mp2i$ に近く、係数は安定に解ける）$|c_+-e^{-i\pi/4}|\le C(\theta+\rho)$ です。よって $s\in[\lambda^{2/3}\zeta_a,-S]$ で

$$Y_+=2|s|^{-1/4}\bigl[\cos(Z-\tfrac\pi4)+O(\theta+\rho)\bigr],\qquad Y_+'=2|s|^{1/4}\bigl[\sin(Z-\tfrac\pi4)+O(\theta+\rho)\bigr].$$

6. 結論。 $\zeta\le-c$ なら $s\le-\lambda^{2/3}c$ で、$\lambda$ が大きければ $s\le-S$ です。任意の $\epsilon>0$ に対し、まず $S$ を $C(e^{\frac5{24}S^{-3/2}}-1+S^{-3/2})\lt\epsilon/2$ となるように取り、次に $\lambda$ を $C(\frac{H+H_-}{\lambda}+\rho(S,\lambda))\lt\epsilon/2$ となるように大きく取れば、$|r_1|,|r_2|\lt\epsilon$ です。使った定数は $M,H,\zeta_a,c$ にしかよりません。

∎

証明の要は、減衰解は増大解の成分をほとんど含まないことです（ステップ 2 の $|b(S)|\le C\theta e^{-2Z(S)}$）。転回点を右から左へ横切っても、指数的に小さい $b$ が増幅されるのは $B$ が振動型の側で有界になるまでなので、誤差は小さいまま保たれます。逆向き（振動型の側から指数型の側へ）の接続は、増大解の成分が少しでも混ざると支配的になるので、この形では成り立ちません。

系 5.2（接続公式（x 変数））✓

補題 4.2 の状況で、定理 5.1 の解に対応する $w_\lambda=\Phi^{-1/4}W_\lambda(\zeta(x))$ は、$x\gt x_0$ で

$$w_\lambda(x)=f^{-1/4}\exp\Bigl(-\lambda\int_{x_0}^x\sqrt f\,dt\Bigr)\bigl(1+\varepsilon(x)\bigr)$$

をみたし、$x_0$ の左の、$x_0$ から離れたコンパクト集合上で一様に

$$w_\lambda(x)=2|f|^{-1/4}\Bigl[\cos\Bigl(\lambda\int_x^{x_0}\sqrt{|f|}\,dt-\frac\pi4\Bigr)+o(1)\Bigr],\qquad w_\lambda'(x)=2\lambda|f|^{1/4}\Bigl[\sin\Bigl(\lambda\int_x^{x_0}\sqrt{|f|}\,dt-\frac\pi4\Bigr)+o(1)\Bigr].$$

証明（系 5.2）

$\Phi^{-1/4}|\zeta|^{\mp1/4}=|f|^{\mp1/4}$（$\Phi|\zeta|=|f|$）と、$\frac23\lambda|\zeta|^{3/2}=\lambda\int\sqrt{|f|}$ を 定理 5.1 に代入します。導関数は $w'=(\Phi^{-1/4})'W+\Phi^{1/4}W_\zeta$ で、第 1 項は $O(1)$、第 2 項が $2\lambda|f|^{1/4}[\sin(\cdots)+o(1)]$ なので、第 1 項は $\lambda\cdot o(1)$ に吸収されます。

∎

井戸型ポテンシャルの転回点 x₋, x₊。その間（許容領域）では解は振動し、外側（禁止領域）では指数的に減衰する。接続公式は、転回点を越えて減衰解と振動解の位相をつなぐ

6. Bohr–Sommerfeld の量子化条件

$u''=\lambda^2(V(x)-E)u$ の固有値問題を考えます。$E$ が固有値であるとは、$L^2(\mathbb{R})$ に属する $0$ でない解が存在することとします。

仮定。 $V\in C^\infty(\mathbb{R})$、$|x|\to\infty$ で $V(x)\to\infty$、$E_a\lt E_b$ とし、$E\in[E_a,E_b]$ について次を仮定します。(i) $\{x:V(x)\le E\}$ は区間 $[x_-(E),x_+(E)]$ で、$V'(x_\pm(E))\neq0$。(ii) $f=V-E$ に右の転回点 $x_+$ で 補題 4.2 を当てたときの $\phi$ について、定理 5.1 の $H$ と、中点 $x_m=\frac{x_-+x_+}2$ より右での $\sup|\phi|$ が $E$ について一様に有界であり、左の転回点 $x_-$ についても（$x\mapsto-x$ で反転して）同様。

たとえば $V(x)=x^{2k}$ では、$|x|\to\infty$ で $\phi(\zeta)|\zeta|^{-1/2}\frac{d\zeta}{dx}$ が $|x|^{-k-2}$ の程度になり、(ii) が成り立ちます。

定理 6.1（Bohr–Sommerfeld の量子化条件）✓

上の仮定の下で $\Theta(E)=\int_{x_-(E)}^{x_+(E)}\sqrt{E-V(x)}\,dx$ とおく。$\eta(\lambda)\to0$（$\lambda\to\infty$）となる関数 $\eta$ があって、

1. 固有値 $E\in[E_a,E_b]$ はすべて、ある整数 $n$ について $\bigl|\lambda\Theta(E)-(n+\frac12)\pi\bigr|\le\eta(\lambda)$ をみたす。
2. 逆に、$\lambda\Theta(E')=n\pi$、$\lambda\Theta(E'')=(n+1)\pi$ となる $E'\lt E''$ が $[E_a,E_b]$ にあれば、その間に固有値がある。

証明（定理 6.1）

二つの減衰解。 系 5.2 を右の転回点 $x_+$ に当てて得られる解を $w_+$ とします。$x\gt x_+$ で $w_+=f^{-1/4}e^{-\lambda\int_{x_+}^x\sqrt f}(1+\varepsilon)$、$|\varepsilon|$ は有界です。$V\to\infty$ から $f^{-1/4}\to0$ かつ $\int_{x_+}^x\sqrt f\,dt$ は $x$ について少なくとも 1 次で増えるので、$w_+$ は右で $L^2$ です。右で $L^2$ な解は $w_+$ の定数倍に限ります。実際、Langer 変数で 定理 3.1 の 1 の $W_2$ 型の解（左端を基点、全変動は仮定 (ii) で有限）を取ると、それは $f^{-1/4}e^{\lambda\int\sqrt f}(1+\varepsilon_2)$ の形で増大し、$w_+$ と独立だからです。左の転回点 $x_-$ についても $x\mapsto-x$ と反転して同様に $w_-$ を作ります。$E$ が固有値であることは、$w_+$ と $w_-$ が一次従属であること、すなわち Wronskian $\mathcal W(E)=w_-w_+'-w_-'w_+$ が $0$ であることと同値です。

Wronskian の計算。 中点 $x_m$ で、$\alpha=\lambda\int_{x_-}^{x_m}\sqrt{|f|}-\frac\pi4$、$\beta=\lambda\int_{x_m}^{x_+}\sqrt{|f|}-\frac\pi4$ とおくと、系 5.2 から（左側は反転により導関数の符号が変わる）

$$w_+=2|f|^{-1/4}[\cos\beta+o(1)],\quad w_+'=2\lambda|f|^{1/4}[\sin\beta+o(1)],\quad w_-=2|f|^{-1/4}[\cos\alpha+o(1)],\quad w_-'=-2\lambda|f|^{1/4}[\sin\alpha+o(1)]$$

で、$o(1)$ は仮定 (ii) により $E$ について一様です。よって

$$\frac{\mathcal W(E)}{4\lambda}=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta+o(1)=\sin(\alpha+\beta)+o(1)=-\cos\bigl(\lambda\Theta(E)\bigr)+o(1).$$

1。 固有値なら $|\cos(\lambda\Theta(E))|\le o(1)$ で、$\cos$ の零点 $(n+\frac12)\pi$ の近くでは $|\cos t|\ge\frac2\pi|t-(n+\frac12)\pi|$（$|t-(n+\frac12)\pi|\le\frac\pi2$）なので、$\lambda\Theta(E)$ はある $(n+\frac12)\pi$ から $o(1)$ 以内にあります。

2。 $E'$ と $E''$ で $-\cos(\lambda\Theta)$ はそれぞれ $(-1)^{n+1}$ と $(-1)^n$ で符号が逆なので、$\lambda$ が大きければ $\mathcal W(E')$ と $\mathcal W(E'')$ の符号も逆です。$w_\pm$ は構成（積分方程式の反復）から $E$ について連続に依存するので、中間値の定理により間に $\mathcal W=0$ となる $E$、すなわち固有値があります。

∎

物理の単位に戻すと $\lambda=\sqrt{2m}/\hbar$、$p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ で、条件は $\oint p\,dx=2\int_{x_-}^{x_+}p\,dx=2\pi\hbar\bigl(n+\frac12\bigr)$ です。古い量子論の量子化条件 $\oint p\,dx=2\pi\hbar n$ との違いの $\frac12$ は、二つの転回点でそれぞれ $\frac\pi4$ ずつの位相のずれ（Airy 関数の漸近形の $\frac\pi4$）から来ます。

例 6.2（調和振動子では厳密）

$V(x)=x^2$ では $x_\pm=\pm\sqrt E$、$\Theta(E)=\int_{-\sqrt E}^{\sqrt E}\sqrt{E-x^2}\,dx=\frac{\pi E}2$（半円の面積）で、条件は $\lambda\frac{\pi E}{2}=(n+\frac12)\pi$、すなわち $E=\frac{2n+1}\lambda$ です。一方、$u''=\lambda^2(x^2-E)u$ は $x=\lambda^{-1/2}y$ と変数変換すると $-u_{yy}+y^2u=\lambda Eu$ で、その固有値は $\lambda E=2n+1$ です（1 次元の簡単な系 の 定理 5.3［1次元の簡単な系］）。Bohr–Sommerfeld の条件は、調和振動子ではすべての $n$ で誤差なく正しい値を与えます。

注意 6.3

誤差 $\eta(\lambda)$ は、$V$ が滑らかなら実際には $O(1/\lambda)$ で、さらに $\lambda^{-2}$ の補正項を含む高次の量子化条件（Dunham の公式）があります。また、二つの井戸の間の障壁をはさむ場合には、障壁の中の減衰解・増大解の両方を扱う必要があり、トンネル効果によるエネルギー準位の分裂 $\propto\exp(-\lambda\int\sqrt{V-E})$ が現れます。これらは本記事の範囲を超えるので、Olver の教科書の第 11 章などを参照してください。

7. 演習

演習 7.1標準

$w''=\lambda^2e^{2x}w$ の減衰解は $K_0(\lambda e^x)$ であることを確かめ、系 3.2 から $t>0$ で

$$K_0(t)=\sqrt{\frac{\pi}{2t}}\,e^{-t}\bigl(1+\varepsilon(t)\bigr),\qquad|\varepsilon(t)|\le e^{1/(8t)}-1$$

を導け。

解答

$t=\lambda e^x$、$w(x)=K_0(t)$ とすると $w'=tK_0'$、$w''=t^2K_0''+tK_0'$ で、変形 Bessel 方程式（命題 3.7［Bessel・Airy・Whittaker 関数］、$\nu=0$）$t^2K_0''+tK_0'=t^2K_0$ から $w''=t^2w=\lambda^2e^{2x}w$ です。

$f=e^{2x}$、$g=0$ では $f^{-1/4}=e^{-x/2}$、$(e^{-x/2})''=\frac14e^{-x/2}$ なので誤差制御関数の被積分関数は $-\frac14e^{-x}$、$\mathcal V_{x,\infty}=\frac14e^{-x}$ です。$\xi=e^x$ なので 系 3.2 の解は $e^{-x/2}e^{-\lambda e^x}(1+\varepsilon)$、$|\varepsilon|\le e^{e^{-x}/(8\lambda)}-1=e^{1/(8t)}-1$ です。減衰する解は定数倍を除いて一意なので $K_0(t)=c\,e^{-x/2}e^{-t}(1+\varepsilon)=c\sqrt{\lambda/t}\,e^{-t}(1+\varepsilon)$ で、$t\to\infty$ の漸近形（命題 3.7［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ の 3）と比べて $c\sqrt\lambda=\sqrt{\pi/2}$ です。$t=1$ では $|\varepsilon|\le e^{1/8}-1\approx0.133$ で、実際の値 $K_0(1)\approx0.4210$ と主要項 $\approx0.4611$ の比から $|\varepsilon|\approx0.087$ です。

演習 7.2標準

$V(x)=x^4$ について Bohr–Sommerfeld の条件を書き下し、近似固有値 $E_n\approx\Bigl(\dfrac{(n+\frac12)\pi}{\lambda\,c}\Bigr)^{4/3}$、$c=\frac12B\bigl(\frac14,\frac32\bigr)$ を導け。

解答

$x_\pm=\pm E^{1/4}$ で、$x=E^{1/4}t$ と置換すると $\Theta(E)=E^{3/4}\int_{-1}^1\sqrt{1-t^4}\,dt$ です。$t^4=v$ とおくと $\int_{-1}^1\sqrt{1-t^4}\,dt=2\int_0^1(1-v)^{1/2}\frac14v^{-3/4}dv=\frac12B(\frac14,\frac32)=c$ で、$c=\frac{\Gamma(1/4)\Gamma(3/2)}{2\Gamma(7/4)}\approx1.748$ です。条件 $\lambda cE^{3/4}=(n+\frac12)\pi$ を解けば主張の式です。$E_n\propto(n+\frac12)^{4/3}$ と、準位の間隔が $n$ とともに広がることがわかります。

演習 7.3標準

$V(x)=|x|$ について、(a) Bohr–Sommerfeld の条件から $\lambda^{2/3}E_n\approx\bigl[\frac{3\pi}4(n+\frac12)\bigr]^{2/3}$ を導け。(b) 奇の固有関数は $x>0$ で $\operatorname{Ai}(\lambda^{2/3}(x-E))$ に比例することから、奇の固有値は $\operatorname{Ai}(-\lambda^{2/3}E)=0$ で決まる。定理 6.2［漸近解析］ から得られる $\operatorname{Ai}$ の零点の近似と (a) の奇数番目を比べよ。（$V$ は $x=0$ で滑らかでないので、本文の定理の仮定はみたさない。）

解答

(a) $x_\pm=\pm E$、$\Theta(E)=2\int_0^E\sqrt{E-x}\,dx=\frac43E^{3/2}$ なので、$\frac43\lambda E^{3/2}=(n+\frac12)\pi$ から主張です。

(b) $\operatorname{Ai}(-y)\approx\pi^{-1/2}y^{-1/4}\sin(\frac23y^{3/2}+\frac\pi4)$ の零点は $\frac23y^{3/2}+\frac\pi4=k\pi$、すなわち $y_k\approx\bigl[\frac{3\pi}8(4k-1)\bigr]^{2/3}$（$k=1,2,\dots$）です。奇の固有関数は $n=2k-1$ に対応し、(a) で $n=2k-1$ とおくと $\frac{3\pi}4(2k-\frac12)=\frac{3\pi}8(4k-1)$ で一致します。転回点の位相 $\frac\pi4$ と原点での境界条件 $u(0)=0$ が、Airy 関数の零点の漸近形と同じ情報をもっていることがわかります。

参考文献

• F. W. J. Olver, Asymptotics and Special Functions, Academic Press, 1974（A K Peters 再版 1997）— 第 6 章（Liouville–Green 近似）、第 11 章（転回点）。
• R. E. Langer, “On the connection formulas and the solutions of the wave equation”, Physical Review 51 (1937), 669–676.
• C. M. Bender, S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, 1978 — 第 10 章（WKB 理論）。
• L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd ed., Pergamon, 1977 — 第 7 章（準古典近似）。