数学 › 特殊関数と漸近解析 › WKB 近似と Liouville–Green 理論

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補題 4.2（「WKB 近似と Liouville–Green 理論」§4） ・ ✓公理まで証明済み

x≥x0x\ge x_0 では 23ζ3/2=∫x0xf(t)1/2dt\frac23\zeta^{3/2}=\int_{x_0}^xf(t)^{1/2}dt、x≤x0x\le x_0 では 23(−ζ)3/2=∫xx0(−f(t))1/2dt\frac23(-\zeta)^{3/2}=\int_x^{x_0}(-f(t))^{1/2}dt により ζ=ζ(x)\zeta=\zeta(x) を定める。

  1. ζ\zeta は (a,b)(a,b) 上 C∞C^\infty 級で、ζ′>0\zeta'>0、ζ(x0)=0\zeta(x_0)=0、ζ′(x0)=f′(x0)1/3\zeta'(x_0)=f'(x_0)^{1/3}。Φ=ζ′2\Phi=\zeta'^2 は C∞C^\infty 級の正の関数で、ζΦ=f\zeta\Phi=f をみたす。
  2. w=Φ−1/4W(ζ)=(ζ/f)1/4W(ζ)w=\Phi^{-1/4}W(\zeta)=(\zeta/f)^{1/4}W(\zeta) とおくと、w′′=(λ2f+g)ww''=(\lambda^2f+g)w は
d2Wdζ2=(λ2ζ+ϕ(ζ))W,ϕ=gΦ−Φ−3/4d2dx2Φ−1/4\frac{d^2W}{d\zeta^2}=\bigl(\lambda^2\zeta+\phi(\zeta)\bigr)W,\qquad\phi=\frac{g}{\Phi}-\Phi^{-3/4}\frac{d^2}{dx^2}\Phi^{-1/4}

と同値で、ϕ\phi は転回点を含めて連続である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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