# WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld
> Liouville 変換と Volterra 型積分方程式で Liouville–Green（WKB）近似の誤差を明示的に評価し、転回点を Langer 変換で Airy 方程式に帰着させて接続公式を証明する。その帰結として Bohr–Sommerfeld の量子化条件を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/special-functions/wkb-liouville-green
## 0. この記事の要点
波が、場所によって性質がゆるやかに変わる媒質の中を進むとき、その場その場の波長で波形をつなぎ合わせれば、おおよその形がつかめそうです。この記事は、その素朴な近似がどれだけ正しいかを誤差まで含めて証明し、近似が破れる折り返しの点でも正しくつなぐ方法を示します。最後に、量子力学で粒子のエネルギーが飛び飛びの値になる条件が、この近似から出ることを確かめます。
- $w''=(\lambda^2f(x)+g(x))w$ の解は、$\lambda\to\infty$ で $f^{-1/4}\exp(\pm\lambda\int\sqrt f\,dx)$ に近づきます（**Liouville–Green 近似**、量子力学では **WKB 近似**）。**Liouville 変換**で方程式を $W''=(\pm\lambda^2+\psi)W$ に直し、Volterra 型積分方程式を反復すると（Volterra 型とは、積分の端点が変数になっている形のことです）、相対誤差は $e^{\mathcal V/(2\lambda)}-1$（振動型では $e^{\mathcal V/\lambda}-1$）で抑えられます。$\mathcal V$ は**誤差制御関数**の全変動（変化量の絶対値を足し合わせた総量）で、計算できる量です。
- $f$ の零点（**転回点**）では $f^{-1/4}$ が発散し、この近似は破綻します。**Langer 変換** $\frac23\zeta^{3/2}=\int_{x_0}^x\sqrt f\,dt$ は転回点を含めて滑らかで、方程式を $W''=(\lambda^2\zeta+\phi(\zeta))W$、すなわち摂動された Airy 方程式に変えます。
- 摂動された Airy 方程式の減衰解を、[Airy 関数](/mathematics/special-functions/bessel-airy-whittaker#def-airy)との比較と両側の Liouville–Green 近似で追跡すると、**接続公式** $\frac12f^{-1/4}e^{-\lambda\int_{x_0}^x\sqrt f}\longleftrightarrow|f|^{-1/4}\cos\bigl(\lambda\int_x^{x_0}\sqrt{|f|}-\frac\pi4\bigr)$ が誤差 $o(1)$ で成り立ちます。位相の $-\frac\pi4$ は Airy 関数から来ます。
- 井戸型ポテンシャルの両端の転回点で接続公式を使い、二つの減衰解の Wronskian を比べると、固有値は $\lambda\int_{x_-}^{x_+}\sqrt{E-V}\,dx=(n+\frac12)\pi+o(1)$ をみたします（**Bohr–Sommerfeld の量子化条件**）。調和振動子ではこれが厳密に正しい値を与えます。
## 1. 動機
量子力学の 1 次元 Schrödinger 方程式 $-\frac{\hbar^2}{2m}u''+V(x)u=Eu$ は、$\lambda=\sqrt{2m}/\hbar$ とおくと
$$
u''=\lambda^2\bigl(V(x)-E\bigr)u
$$
と書けます。$\hbar\to0$（古典極限）は $\lambda\to\infty$ に対応します。$V$ が定数なら解は $e^{\pm\lambda\sqrt{V-E}\,x}$ で、$V$ がゆっくり変わるなら「局所的な波数を積分した位相」$e^{\pm\lambda\int\sqrt{V-E}\,dx}$ が近似解になりそうです。実際に代入してみると、振幅にも補正 $(V-E)^{-1/4}$ が必要で、これが Wentzel・Kramers・Brillouin（WKB）の近似です。数学では、19 世紀に Liouville と Green が同じ近似を導いていたので **Liouville–Green（LG）近似**と呼びます。
この近似は二つの点で注意を要します。第一に、どの程度正しいのかを**誤差の上界**で言えるかどうか。第二に、$V(x)=E$ となる**転回点**（古典的な粒子が折り返す点）では振幅 $(V-E)^{-1/4}$ が発散し、近似が意味を失うことです。古典的に許される領域（振動解）と禁止される領域（指数解）を、転回点を越えてどうつなぐか。この「接続公式」から、束縛状態のエネルギーを与える Bohr–Sommerfeld の量子化条件が出てきます。
この章では、前章までに準備した Airy 関数（[Bessel・Airy・Whittaker 関数](/mathematics/special-functions/bessel-airy-whittaker)）と、その漸近形（[漸近解析](/mathematics/special-functions/asymptotic-methods)）を使って、これらを証明します。
## 2. Liouville 変換
ねらいは、係数が変化する方程式を、変数の取り替えで「定数係数の方程式に小さな項 $\psi$ が加わった形」に直すことです。$\psi=0$ なら解は $e^{\pm\lambda\xi}$ や $e^{\pm i\lambda\xi}$ と厳密に分かるので、近似の誤差は $\psi$ だけで測れるようになります。
区間 $I$ 上で $f\in C^2$ が $0$ にならず、$g$ が連続とする。$\xi(x)=\int^x|f(t)|^{1/2}dt$、$w=|f|^{-1/4}W(\xi)$ とおくと、$w''=(\lambda^2f+g)w$ は
$$
\frac{d^2W}{d\xi^2}=\bigl(\lambda^2\operatorname{sgn}f+\psi\bigr)W,\qquad\psi=\frac{g}{|f|}-|f|^{-3/4}\frac{d^2}{dx^2}|f|^{-1/4}
$$
と同値である（$\psi$ は $x$ の関数を $\xi$ の関数とみたもの）。
$h=|f|^{-1/4}$ とおくと $\xi'=|f|^{1/2}=h^{-2}$ です。$w=hW(\xi(x))$ を微分すると $w'=h'W+hW_\xi h^{-2}=h'W+h^{-1}W_\xi$、
$$
w''=h''W+h'h^{-2}W_\xi+(h^{-1})'W_\xi+h^{-1}h^{-2}W_{\xi\xi}=h''W+h^{-3}W_{\xi\xi}
$$
（$(h^{-1})'=-h'h^{-2}$ で $W_\xi$ の項が消える）。方程式に代入して $h^3$ を掛けると $W_{\xi\xi}=h^4(\lambda^2f+g)W-h^3h''W$ で、$h^4=1/|f|$ から主張が出ます。
$\psi\,d\xi=\psi|f|^{1/2}dx$ なので、
$$
\mathcal F(x)=\int^x\Bigl(\frac{g}{|f|^{1/2}}-|f|^{-1/4}\frac{d^2}{dx^2}|f|^{-1/4}\Bigr)dx
$$
を**誤差制御関数**と呼びます。区間 $[x_1,x_2]$ での全変動 $\mathcal V_{x_1,x_2}(\mathcal F)=\int_{x_1}^{x_2}\bigl|\frac{g}{|f|^{1/2}}-|f|^{-1/4}(|f|^{-1/4})''\bigr|dx=\int|\psi|\,d\xi$ が、以下の誤差評価のすべてを決めます。$\lambda$ に依存しないことに注意してください。
## 3. Liouville–Green 近似の誤差評価
$\psi$ を区間 $(\alpha,\beta)$（端点は無限でもよい）上の連続関数、$\lambda>0$ とし、$\mathcal V_{\xi_1,\xi_2}=\bigl|\int_{\xi_1}^{\xi_2}|\psi(\eta)|d\eta\bigr|$ と書く。
1. **指数型。** $\mathcal V_{\xi,\beta}\lt\infty$ なら、$W''=(\lambda^2+\psi)W$ は解 $W_1=e^{-\lambda\xi}(1+\varepsilon_1(\xi))$ をもち、
$$
|\varepsilon_1(\xi)|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1,\qquad|\varepsilon_1'(\xi)|\le2\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1\bigr).
$$
同様に $\mathcal V_{\alpha,\xi}\lt\infty$ なら解 $W_2=e^{\lambda\xi}(1+\varepsilon_2)$ があり、$\varepsilon_2$ は $\mathcal V_{\alpha,\xi}$ で同じ形に抑えられる。
2. **振動型。** $\gamma\in[\alpha,\beta]$ で $\mathcal V_{\xi,\gamma}\lt\infty$ なら、$W''=(-\lambda^2+\psi)W$ は解 $W_\pm=e^{\pm i\lambda\xi}(1+\varepsilon_\pm(\xi))$ をもち、
$$
|\varepsilon_\pm(\xi)|\le e^{\mathcal V_{\xi,\gamma}/\lambda}-1,\qquad|\varepsilon_\pm'(\xi)|\le\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\gamma}/\lambda}-1\bigr).
$$
$\gamma$ が有限なら $\varepsilon_\pm(\gamma)=\varepsilon_\pm'(\gamma)=0$。$\psi$ が実数値なら $W_-=\overline{W_+}$。
証明の方針は、$\psi$ の項を積分方程式の形で右辺に移し、$h_0=1$ から出発して逐次近似することです。$\mathcal V_{\eta,\beta}$ を $\eta$ で微分すると $-|\psi(\eta)|$ になるので、$k$ 回目の補正は $\int\mathcal V^k\,d\mathcal V$ の形になり、$k!$ で割られていきます。これが指数関数 $e^{\mathcal V/(2\lambda)}$ の展開に対応します。
**1。** $W=e^{-\lambda\xi}h$ とおくと、方程式は $h''-2\lambda h'=\psi h$ になります。$\xi\le\eta$ について $K(\xi,\eta)=\frac{1-e^{-2\lambda(\eta-\xi)}}{2\lambda}$ とおき、積分方程式
$$
h(\xi)=1+\int_\xi^\beta K(\xi,\eta)\psi(\eta)h(\eta)\,d\eta
$$
を考えます。$u=\psi h$ として $I(\xi)=\int_\xi^\beta K(\xi,\eta)u(\eta)d\eta$ を微分すると、$K(\xi,\xi)=0$ なので $I'=-\int_\xi^\beta e^{-2\lambda(\eta-\xi)}u\,d\eta$、$I''=u-2\lambda\int_\xi^\beta e^{-2\lambda(\eta-\xi)}u\,d\eta$ で、$I''-2\lambda I'=u$ です。よって積分方程式の有界な解は $h''-2\lambda h'=\psi h$ をみたします。
$h_0=1$、$h_{k+1}=1+\int_\xi^\beta K\psi h_k\,d\eta$ と反復します。$0\le K\le\frac1{2\lambda}$ と $\frac{d}{d\eta}\mathcal V_{\eta,\beta}=-|\psi(\eta)|$ から、帰納法で
$$
|h_{k+1}(\xi)-h_k(\xi)|\le\frac1{2\lambda}\int_\xi^\beta|\psi(\eta)|\frac{1}{k!}\Bigl(\frac{\mathcal V_{\eta,\beta}}{2\lambda}\Bigr)^kd\eta=\frac1{(k+1)!}\Bigl(\frac{\mathcal V_{\xi,\beta}}{2\lambda}\Bigr)^{k+1}
$$
です。よって $h_k$ は一様収束し、極限 $h$ は積分方程式の解で、$|h-1|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1$、$|h|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}$ です。$\varepsilon_1=h-1$ とおけばよく、導関数は $|h'|=|I'|\le\int_\xi^\beta|\psi(\eta)|e^{\mathcal V_{\eta,\beta}/(2\lambda)}d\eta=2\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1\bigr)$ です。$W_2$ は $\xi\mapsto-\xi$ と向きを反転して同じ議論をすれば得られます。
**2。** $W=e^{i\lambda\xi}h$ とおくと $h''+2i\lambda h'=\psi h$ です。$K(\xi,\eta)=\frac{e^{2i\lambda(\eta-\xi)}-1}{2i\lambda}$ とすると $|K|\le\frac1\lambda$ で、1 と同じ計算により $h=1+\int_\xi^\gamma K\psi h\,d\eta$（$\gamma$ が $\xi$ の左右どちらにあっても向き付きの積分として）の解は $h''+2i\lambda h'=\psi h$ をみたします。反復の評価は $\frac1{2\lambda}$ を $\frac1\lambda$ に替えるだけで、$h'=-\int_\xi^\gamma e^{2i\lambda(\eta-\xi)}\psi h\,d\eta$ から導関数の評価も同様です。$\gamma$ が有限なら積分方程式から $h(\gamma)=1$、$h'(\gamma)=0$ です。積分方程式の有界な解は一意（差 $d$ が $|d(\xi)|\le\frac1\lambda|\int_\xi^\gamma|\psi||d|\,d\eta|$ をみたし、反復すれば $d=0$）で、$\psi$ が実数値なら $\overline{h}$ は $e^{-i\lambda\xi}$ に対する積分方程式の解なので $W_-=\overline{W_+}$ です。
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