数学 › 特殊関数と漸近解析 › WKB 近似と Liouville–Green 理論

接続公式（Langer 変数）

定理 5.1（「WKB 近似と Liouville–Green 理論」§5） ・ ✓公理まで証明済み

−∞<ζa<0<ζb≤∞-\infty\lt\zeta_a\lt0\lt\zeta_b\le\infty、ϕ\phi を (ζa,ζb)(\zeta_a,\zeta_b) 上の連続な実数値関数とし、(ζa,min⁡(1,ζb))(\zeta_a,\min(1,\zeta_b)) 上で ∣ϕ∣≤M|\phi|\le M、かつ H=∫0ζb∣ϕ(ζ)∣ζ−1/2dζ<∞H=\int_0^{\zeta_b}|\phi(\zeta)|\zeta^{-1/2}d\zeta\lt\infty とする。λ≥1\lambda\ge1 について、W′′=(λ2ζ+ϕ)WW''=(\lambda^2\zeta+\phi)W の解 WλW_\lambda で

Wλ(ζ)=ζ−1/4e−23λζ3/2(1+ε(ζ)),ε(ζ)→0(ζ→ζb)W_\lambda(\zeta)=\zeta^{-1/4}e^{-\frac23\lambda\zeta^{3/2}}\bigl(1+\varepsilon(\zeta)\bigr),\qquad\varepsilon(\zeta)\to0\quad(\zeta\to\zeta_b)

となるものがただ一つある。さらに 0<c<∣ζa∣0\lt c\lt|\zeta_a| を固定すると、ζ∈(ζa,−c]\zeta\in(\zeta_a,-c] で

Wλ(ζ)=2∣ζ∣−1/4[cos⁡(23λ∣ζ∣3/2−π4)+r1],Wλ′(ζ)=2λ∣ζ∣1/4[sin⁡(23λ∣ζ∣3/2−π4)+r2]W_\lambda(\zeta)=2|\zeta|^{-1/4}\Bigl[\cos\Bigl(\frac23\lambda|\zeta|^{3/2}-\frac\pi4\Bigr)+r_1\Bigr],\qquad W_\lambda'(\zeta)=2\lambda|\zeta|^{1/4}\Bigl[\sin\Bigl(\frac23\lambda|\zeta|^{3/2}-\frac\pi4\Bigr)+r_2\Bigr]

が成り立ち、∣r1∣,∣r2∣≤η(λ)|r_1|,|r_2|\le\eta(\lambda) である。ここで η(λ)→0\eta(\lambda)\to0（λ→∞\lambda\to\infty）は M,H,ζa,cM,H,\zeta_a,c だけで決まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 105 件、定義なども含めて 125 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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