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Laplace の方法（複素位相）

定理 4.2（「漸近解析」§4） ・ ✓公理まで証明済み

(a,b)(a,b) を区間（a=−∞a=-\infty、b=∞b=\infty も許す）、F,g:(a,b)→CF,g:(a,b)\to\mathbb{C} とし、t0∈(a,b)t_0\in(a,b) について次を仮定する。

  1. FF は t0t_0 の近くで C2C^2 級、F′(t0)=0F'(t_0)=0、Re⁡F′′(t0)<0\operatorname{Re}F''(t_0)\lt0。gg は t0t_0 で連続で、t0t_0 の近くで有界。
  2. 任意の δ>0\delta>0 について sup⁡∣t−t0∣≥δRe⁡(F(t)−F(t0))<0\sup_{|t-t_0|\ge\delta}\operatorname{Re}\bigl(F(t)-F(t_0)\bigr)\lt0。
  3. ある λ0\lambda_0 で ∫ab∣g(t)∣eλ0Re⁡F(t)dt<∞\int_a^b|g(t)|e^{\lambda_0\operatorname{Re}F(t)}dt\lt\infty。

このとき λ→+∞\lambda\to+\infty で

∫abg(t)eλF(t)dt=eλF(t0)2π−λF′′(t0)(g(t0)+o(1))\int_a^bg(t)e^{\lambda F(t)}dt=e^{\lambda F(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda F''(t_0)}}\bigl(g(t_0)+o(1)\bigr)

（平方根は主値）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 70 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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