漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和

0. この記事の要点

「パラメータが大きいとき、積分や関数の値はおよそどんな大きさになるか」を、誤差の見積りつきで調べる方法を学びます。たとえば $x$ が大きいときの $\sin$ に似た振動の振幅や、$n!$ の大きさがその例です。積分の値が、ごく一部の点の近くの情報だけでほぼ決まるという事実が、すべての方法の出発点です。読み終えると、Bessel 関数や Airy 関数の大きい $x$ での形と、複素数に対する Stirling の公式を、誤差まで込めて導けるようになります。

• 漸近展開は収束しなくてよい級数です。各打ち切りの誤差が次の項より小さい、という条件だけで定義され、係数は関数から一意に決まります。
• Watson の補題: $\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)\,dt$ の $\lambda\to\infty$ での漸近展開は、$f$ の $t=0$ での展開を項別に Laplace 変換したものです。これで Bessel 関数の大きい $x$ での漸近形 $J_\nu(x)\sim\sqrt{2/(\pi x)}\cos(x-\frac{\nu\pi}2-\frac\pi4)$ を完全に証明します。
• Laplace の方法は「$e^{\lambda F}$ は $\operatorname{Re}F$ の最大点の近くに集中する」という原理で、位相 $F$ が複素数値でも同じ証明が通ります。これを積分路の上で使うのが鞍点法で、$\operatorname{Ai}(-x)\sim\pi^{-1/2}x^{-1/4}\sin(\frac23x^{3/2}+\frac\pi4)$ を導きます。実の振動積分には停留位相法を使います。
• Euler–Maclaurin の公式は和を積分と端点の補正で表します。Gauss の極限公式と組み合わせると、Stirling の公式を扇形 $|\arg z|\le\pi-\delta$ に拡張し、誤差 $|R_p(z)|\le C_p/(\sin^{2p}(\delta/2)|z|^{2p-1})$ まで明示できます。
• 発散する漸近級数から関数を一意に復元するのが Borel 総和です。Watson–Nevanlinna–Sokal の定理は、円板 $\operatorname{Re}(1/z)>1/R$ で $N!\,\sigma^N|z|^N$ 型の誤差評価があれば Borel 総和が可能で、元の関数を再現することを保証します。

この記事で使う事前知識

• ガンマ関数: 階乗を実数・複素数に拡張した関数で、$\Gamma(n+1)=n!$ をみたします。→ ガンマ関数
• Airy 関数: 微分方程式 $y''=xy$ の解で、積分表示をもつ特殊関数です。→ Airy 関数
• 正則関数: 複素数の範囲で微分できる関数です。積分路を自由に変形できる理由になります。→ 正則関数
• 留数: 孤立特異点のまわりの周回積分を決める係数です。→ 留数
• Bessel 関数・Poisson の積分表示: 前提の記事（Bessel・Airy・Whittaker 関数）で積分表示まで導いたものを、そのまま使います。

1. 動機

特殊関数の多くは積分で表されます。前章で見た $K_\nu(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh\nu t\,dt$ や $\operatorname{Ai}(x)=\frac1{2\pi i}\int_Le^{t^3/3-xt}dt$ がその例です。パラメータ（$x$ や次数 $\nu$）が大きいときの振る舞いを知りたいのですが、積分を閉じた形で計算することはできません。漸近解析は、大きなパラメータがあると、積分の値はごく一部の点の近くの情報だけで決まるという現象を、誤差まで込めて定式化する技術です。

決め手になる点は、積分の形によって異なります。$\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)dt$ では端点 $t=0$、$\int e^{\lambda F(t)}dt$ では $\operatorname{Re}F$ の最大点、$\int e^{i\lambda\phi(t)}dt$ では位相の停留点（$\phi'=0$）、複素積分では鞍点（$f'=0$）です。この章ではこれらを順に証明し、前章で残した Bessel 関数の振動の定数、次章の WKB 近似で使う Airy 関数の振動の漸近形、そして複素数での Stirling の公式を導きます。最後に、漸近級数が発散するときにどこまで関数を「復元」できるかという問い（Borel 総和）を扱います。

2. 漸近展開

定義 2.1（漸近列と漸近展開）↗

$\lambda\to\infty$ での比較のために、$f=O(g)$ は「$\lambda$ が十分大きいとき $|f|\le C|g|$ となる定数 $C$ がある」、$f=o(g)$ は「$f/g\to0$」、$f\sim g$ は「$f/g\to1$」を表す。関数列 $\varphi_0,\varphi_1,\dots$ が $\varphi_{k+1}=o(\varphi_k)$ をみたすとき漸近列という。形式的な級数 $\sum_ka_k\varphi_k$ が $f$ の漸近展開であるとは、すべての $N$ について

$$f(\lambda)-\sum_{k=0}^{N-1}a_k\varphi_k(\lambda)=O\bigl(\varphi_N(\lambda)\bigr)\qquad(\lambda\to\infty)$$

が成り立つことをいい、$f\sim\sum_ka_k\varphi_k$ と書く。

命題 2.2（漸近展開の係数の一意性）✓

漸近列 $(\varphi_k)$ に関する $f$ の漸近展開の係数は一意である。

証明（命題 2.2）

$\sum a_k\varphi_k$ と $\sum b_k\varphi_k$ がともに $f$ の漸近展開で、$a_k=b_k$（$k\lt N$）とします。差を取ると $(a_N-b_N)\varphi_N=O(\varphi_{N+1})=o(\varphi_N)$ なので $a_N=b_N$ です。

∎

逆は成り立ちません。$\varphi_k=\lambda^{-k}$ のとき $e^{-\lambda}$ の漸近展開は係数がすべて $0$ で、$f$ と $f+e^{-\lambda}$ は同じ漸近展開をもちます。漸近展開は、指数的に小さい量を見分けないのです。

例 2.3（Euler の発散級数）

$x>0$ について $E(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{1+xt}\,dt$ とします。$\frac1{1+xt}=\sum_{k\lt N}(-xt)^k+\frac{(-xt)^N}{1+xt}$ を代入すると

$$E(x)=\sum_{k=0}^{N-1}(-1)^kk!\,x^k+R_N(x),\qquad|R_N(x)|=x^N\int_0^\infty\frac{t^Ne^{-t}}{1+xt}dt\le N!\,x^N .$$

誤差は「最初に捨てた項」の大きさ以下で、$x\to0$ で $E(x)\sim\sum(-1)^kk!x^k$ です。しかしこの級数は $x\neq0$ でつねに発散します。$x$ を固定すると、$N!x^N$ は $N\approx1/x$ で最小になり、そこで打ち切ると誤差は Stirling の公式から約 $\sqrt{2\pi/x}\,e^{-1/x}$ です。漸近級数の精度には、指数的に小さい量で決まる限界があります。

なぜ $N\approx1/x$ なのかを確かめておきます。隣り合う項の大きさの比は $(N+1)!\,x^{N+1}\big/(N!\,x^N)=(N+1)x$ です。$N+1\lt1/x$ の間は比が $1$ より小さく項は減り続け、$N+1\gt1/x$ になると増え始めます。したがって項が最小になるのは $N$ が $1/x$ の近くのときで、そこで級数を打ち切るのが最も精度がよい、ということです。

3. Watson の補題

定理 3.1（Watson の補題）✓

$f:(0,\infty)\to\mathbb{C}$ を可測関数とし、次を仮定する。

1. ある $c\ge0$ で $\int_0^\infty|f(t)|e^{-ct}dt\lt\infty$。
2. 実数 $-1\lt\alpha_0\lt\alpha_1\lt\cdots$ と複素数 $a_k$ があって、各 $N$ について $t\to+0$ で $f(t)=\sum_{k\lt N}a_kt^{\alpha_k}+O(t^{\alpha_N})$。

このとき $\lambda\to+\infty$ で

$$\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)\,dt\sim\sum_{k=0}^\infty a_k\frac{\Gamma(\alpha_k+1)}{\lambda^{\alpha_k+1}} .$$

証明（定理 3.1）

$N$ を固定し、$0\lt\delta\le1$ と $C$ を、$0\lt t\le\delta$ で $\bigl|f(t)-\sum_{k\lt N}a_kt^{\alpha_k}\bigr|\le Ct^{\alpha_N}$ となるように取ります。

遠方。 $\lambda>c$ なら $\bigl|\int_\delta^\infty e^{-\lambda t}f\,dt\bigr|\le e^{-(\lambda-c)\delta}\int_\delta^\infty|f|e^{-ct}dt=O(e^{-\lambda\delta})$。

近傍。 $\int_0^\delta e^{-\lambda t}t^{\alpha}dt=\Gamma(\alpha+1)\lambda^{-\alpha-1}-\int_\delta^\infty e^{-\lambda t}t^\alpha dt$ で、最後の積分は $\lambda\ge2$ で $e^{-\lambda\delta/2}\int_\delta^\infty e^{-t}t^\alpha dt=O(e^{-\lambda\delta/2})$ です（$\lambda t\ge t+\lambda\delta/2$）。残りは

$$\Bigl|\int_0^\delta e^{-\lambda t}\Bigl(f-\sum_{k\lt N}a_kt^{\alpha_k}\Bigr)dt\Bigr|\le C\int_0^\infty e^{-\lambda t}t^{\alpha_N}dt=C\,\Gamma(\alpha_N+1)\lambda^{-\alpha_N-1}$$

です。指数的に小さい項はすべて $O(\lambda^{-\alpha_N-1})$ なので、主張の $N$ 項目までの評価が得られます。

∎

Watson の補題の使い方は、「積分を $\int_0^\infty e^{-\lambda t}(\cdots)dt$ の形に変形すること」に尽きます。振動積分なら、積分路を複素平面で回転させて $e^{i\lambda t}$ を $e^{-\lambda y}$ に変えます。その典型例として、前章 Bessel・Airy・Whittaker 関数 の 系 6.8［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ で一般の $\nu$ について残しておいた定数を決めます。

定理 3.2（Bessel 関数の大きい x での漸近形）✓

すべての実数 $\nu$ について、$x\to+\infty$ で

$$J_\nu(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\Bigl(\cos\Bigl(x-\frac{\nu\pi}2-\frac\pi4\Bigr)+O\Bigl(\frac1x\Bigr)\Bigr).$$

次の証明の方針です。Poisson の積分表示（積分区間は $[-1,1]$）を、複素平面の長方形に沿った積分に置き換え、積分を端点 $\pm1$ から虚軸方向へ伸びる 2 本の半直線上の積分に分けます。すると両方が Watson の補題の形 $\int_0^\infty e^{-xy}(\cdots)dy$ になります。冪の分枝や、角を避ける 4 分円の評価は技術的な処理で、本質は「端点から立ち上がる 2 本の積分に分ける」ことです。

証明（定理 3.2）

$\nu>-\frac12$ の場合。 Poisson の積分表示（定理 3.4［Bessel・Airy・Whittaker 関数］）から $J_\nu(x)=c_\nu x^\nu\Phi(x)$、$c_\nu=\frac{2^{-\nu}}{\Gamma(\nu+1/2)\sqrt\pi}$、$\Phi(x)=\int_{-1}^1G(t)e^{ixt}dt$ です。ここで $G(t)=(1-t)^{\nu-1/2}(1+t)^{\nu-1/2}$ を、上半平面 $\operatorname{Im}t>0$ で冪の主値を使って正則に延ばします（$1-t$ は下半平面、$1+t$ は上半平面にあるので主値は連続）。$G$ は偶関数なので $\Phi$ は実数で、Poisson 表示の $\cos(xt)$ の積分に等しい。

長方形 $-1\to1\to1+iY\to-1+iY\to-1$ にコーシーの積分定理（定理 4.3［コーシーの積分定理と積分公式］）を当てます。角 $\pm1$ は半径 $\varepsilon$ の 4 分円で避け、その寄与は $|G|\le C\varepsilon^{\nu-1/2}$ と長さ $\pi\varepsilon/2$ から $O(\varepsilon^{\nu+1/2})\to0$ です。上辺では $|e^{ixt}|=e^{-xY}$、$|G(s+iY)|\le C(1+Y)^{|2\nu-1|}$ なので $Y\to\infty$ で寄与は消えます。よって

$$\Phi(x)=ie^{-ix}\int_0^\infty G(-1+iy)e^{-xy}dy-ie^{ix}\int_0^\infty G(1+iy)e^{-xy}dy .$$

$t=1+iy$ では $1-t=-iy=ye^{-i\pi/2}$、$1+t=2+iy$ なので、$y\to+0$ で

$$G(1+iy)=2^{\nu-1/2}e^{-i\pi(2\nu-1)/4}y^{\nu-1/2}\bigl(1+O(y)\bigr),$$

同様に $G(-1+iy)=2^{\nu-1/2}e^{i\pi(2\nu-1)/4}y^{\nu-1/2}(1+O(y))$ です。$|G(\pm1+iy)|$ は多項式的にしか増えないので、定理 3.1（$\alpha_0=\nu-\frac12$、$\alpha_1=\nu+\frac12$）から

$$\Phi(x)=2^{\nu-1/2}\Gamma\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)x^{-\nu-1/2}\Bigl(ie^{-i\theta}-ie^{i\theta}+O(x^{-1})\Bigr),\qquad\theta=x-\frac{(2\nu-1)\pi}4 .$$

$ie^{-i\theta}-ie^{i\theta}=2\sin\theta$ で、$c_\nu x^\nu\cdot2^{\nu+1/2}\Gamma(\nu+\frac12)x^{-\nu-1/2}=\sqrt{2/(\pi x)}$、$\sin\theta=\cos(x-\frac{\nu\pi}2-\frac\pi4)$ なので主張が出ます。

一般の $\nu$。 系 6.8［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ の証明で示したとおり、$\sqrt xJ_\nu=A_\nu\cos(x-\varphi_\nu)+O(1/x)$ の定数は $A_{\nu+1}=A_\nu$、$\varphi_{\nu+1}\equiv\varphi_\nu+\frac\pi2$ をみたします。$\nu+k>-\frac12$ となる整数 $k$ を取ると、前半から $A_{\nu+k}=\sqrt{2/\pi}$、$\varphi_{\nu+k}=\frac{(\nu+k)\pi}2+\frac\pi4$ で、$k$ 段さかのぼって $A_\nu=\sqrt{2/\pi}$、$\varphi_\nu=\frac{\nu\pi}2+\frac\pi4$ です。誤差の $O(1/x)$ は同系の評価そのものです。

∎

この定理で、$J_\nu$ の大きな零点はおよそ $x\approx(k+\frac\nu2-\frac14)\pi$ にあることがわかります（McMahon の近似の主要項）。

4. Laplace の方法

補題 4.1（複素係数のガウス積分）✓

$\operatorname{Re}\kappa>0$ のとき $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-\kappa\sigma^2/2}d\sigma=\sqrt{\frac{2\pi}{\kappa}}$（平方根は主値）。

証明（補題 4.1）

左辺は $\kappa$ について右半平面で正則です（積分記号下で微分でき、導関数 $-\frac{\sigma^2}2e^{-\kappa\sigma^2/2}$ は $\operatorname{Re}\kappa\ge\varepsilon$ で $\frac{\sigma^2}2e^{-\varepsilon\sigma^2/2}$ に抑えられる）。右辺も主値の平方根なので右半平面で正則です。$\kappa>0$ ではガウス積分（定理 3.3［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］）から一致するので、一致の定理（定理 7.3［正則関数の強力な性質］）により右半平面全体で一致します。

∎

定理 4.2（Laplace の方法（複素位相））✓

$(a,b)$ を区間（$a=-\infty$、$b=\infty$ も許す）、$F,g:(a,b)\to\mathbb{C}$ とし、$t_0\in(a,b)$ について次を仮定する。

1. $F$ は $t_0$ の近くで $C^2$ 級、$F'(t_0)=0$、$\operatorname{Re}F''(t_0)\lt0$。$g$ は $t_0$ で連続で、$t_0$ の近くで有界。
2. 任意の $\delta>0$ について $\sup_{|t-t_0|\ge\delta}\operatorname{Re}\bigl(F(t)-F(t_0)\bigr)\lt0$。
3. ある $\lambda_0$ で $\int_a^b|g(t)|e^{\lambda_0\operatorname{Re}F(t)}dt\lt\infty$。

このとき $\lambda\to+\infty$ で

$$\int_a^bg(t)e^{\lambda F(t)}dt=e^{\lambda F(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda F''(t_0)}}\bigl(g(t_0)+o(1)\bigr)$$

（平方根は主値）。

証明（定理 4.2）

$\kappa=-F''(t_0)$、$F_0=F(t_0)$ とおきます。Taylor の定理から $F(t)-F_0=-\frac\kappa2(t-t_0)^2+\varepsilon(t)(t-t_0)^2$、$\varepsilon(t)\to0$（$t\to t_0$）です。$\delta>0$ を、$|t-t_0|\le\delta$ で $|\varepsilon(t)|\le\operatorname{Re}\kappa/4$、$|g(t)|\le M$ となるように取ると、そこで $\operatorname{Re}(F-F_0)\le-\frac{\operatorname{Re}\kappa}4(t-t_0)^2$ です。

近傍。 $t=t_0+\sigma/\sqrt\lambda$ と置換すると

$$\sqrt\lambda\int_{|t-t_0|\le\delta}ge^{\lambda(F-F_0)}dt=\int_{|\sigma|\le\delta\sqrt\lambda}g\Bigl(t_0+\frac\sigma{\sqrt\lambda}\Bigr)\exp\Bigl(-\frac\kappa2\sigma^2+\varepsilon\Bigl(t_0+\frac{\sigma}{\sqrt\lambda}\Bigr)\sigma^2\Bigr)d\sigma .$$

被積分関数は $Me^{-\operatorname{Re}\kappa\,\sigma^2/4}$ で抑えられ、各 $\sigma$ で $g(t_0)e^{-\kappa\sigma^2/2}$ に収束するので、優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）と 補題 4.1 から極限は $g(t_0)\sqrt{2\pi/\kappa}$ です。

遠方。 仮定 2 から $\eta:=-\sup_{|t-t_0|\ge\delta}\operatorname{Re}(F-F_0)>0$ です。$\lambda\ge\lambda_0$ なら $|e^{\lambda(F-F_0)}|\le e^{\lambda_0\operatorname{Re}(F-F_0)}e^{-(\lambda-\lambda_0)\eta}$ なので、仮定 3 から $\sqrt\lambda\int_{|t-t_0|\ge\delta}|g||e^{\lambda(F-F_0)}|dt=O(\sqrt\lambda e^{-\lambda\eta})\to0$ です。

∎

$F$ が実数値なら、これは「$e^{\lambda F}$ は最大点の幅 $1/\sqrt\lambda$ の近くに集中し、そこでの形はガウス関数」という古典的な Laplace の方法です。$F''$ が複素数でも $\operatorname{Re}F''\lt0$ でありさえすれば同じ結論になる点が、後の鞍点法で効いてきます。

左の図は直後の例と同じ $F(s)=\ln s-s$ で $\lambda$ を大きくしたものです。$e^{\lambda(F(s)-F(1))}$ が $s=1$ のまわりに幅 $1/\sqrt\lambda$ で尖り、ガウス関数に重なっていく様子と、積分とガウス近似の比が 1 に近づく様子を見てください。

F(s)=ln s−s の e^{λ(F(s)−F(1))} を λ=1 から 200 まで動かした図（左、破線は e^{−λ(s−1)²/2}）。右は ∫₀^∞ e^{λ(F(s)−F(1))}ds と √(2π/λ) の比で、λ とともに 1 に近づく。

例 4.3（Stirling の公式（主要項））

$\Gamma(\lambda+1)=\int_0^\infty t^\lambda e^{-t}dt$ で $t=\lambda s$ とおくと $\Gamma(\lambda+1)=\lambda^{\lambda+1}\int_0^\infty e^{\lambda(\ln s-s)}ds$ です。$F(s)=\ln s-s$ は $s=1$ で最大値 $-1$ を取り、$F''(1)=-1$ で、$s\to0$ と $s\to\infty$ で $F\to-\infty$ なので仮定 2 がみたされます。定理 4.2 から

$$\Gamma(\lambda+1)\sim\lambda^{\lambda+1}e^{-\lambda}\sqrt{\frac{2\pi}\lambda}=\sqrt{2\pi\lambda}\Bigl(\frac\lambda e\Bigr)^\lambda .$$

これは 整関数とガンマ関数 で別の方法で示した実軸上の Stirling の公式（定理 6.6［整関数とガンマ関数］）の主要項です。7 節で、これを複素数の扇形に拡張します。

5. 停留位相法

実数値の位相 $\phi$ をもつ振動積分 $\int g(t)e^{i\lambda\phi(t)}dt$ では $|e^{i\lambda\phi}|=1$ なので、Laplace の方法の「集中」は起きません。代わりに、位相が速く回るところでは打ち消し合いが起き、位相が止まる点（$\phi'=0$）だけが残ります。

補題 5.1（停留点がない場合）✓

$\phi,g\in C^\infty([a,b])$、$\phi$ は実数値、$g$ は $a,b$ の近くで $0$、$[a,b]$ 上で $\phi'\neq0$ とする。このとき $\int_a^bg\,e^{i\lambda\phi}dt=O(1/\lambda)$（$\lambda\to\infty$）。

証明（補題 5.1）

$e^{i\lambda\phi}=\frac1{i\lambda\phi'}\frac{d}{dt}e^{i\lambda\phi}$ と書いて部分積分すると、境界項は $g$ が端点の近くで $0$ なので消え、$\int_a^bge^{i\lambda\phi}dt=-\frac1{i\lambda}\int_a^b\bigl(g/\phi'\bigr)'e^{i\lambda\phi}dt$ で、絶対値は $\frac1\lambda\int_a^b|(g/\phi')'|dt$ 以下です。

∎

定理 5.2（停留位相法）✓

$\phi,g\in C^\infty([a,b])$、$\phi$ は実数値、$g$ は $a,b$ の近くで $0$ とする。$\phi'$ は $[a,b]$ でただ一点 $t_0\in(a,b)$ でのみ $0$ になり、$\phi''(t_0)\neq0$ とする。このとき $\lambda\to+\infty$ で

$$\int_a^bg(t)e^{i\lambda\phi(t)}dt=g(t_0)\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|\phi''(t_0)|}}\;e^{i\lambda\phi(t_0)+i\frac\pi4\operatorname{sgn}\phi''(t_0)}+O\Bigl(\frac1\lambda\Bigr).$$

証明の方針です。停留点 $t_0$ のまわりで変数を取り替え、位相を $\phi(t_0)+s^2/2$ の形にそろえます（ここで使う変数変換が「1 次元の Morse の補題」です）。すると積分は $e^{i\lambda s^2/2}$ の積分に帰着し、複素係数のガウス積分で計算できます。変数変換が微分同相になること（$s$ が単調で、逆関数も滑らかなこと）は、$\phi$ が停留点の両側で単調であることから出ます。

証明（定理 5.2）

$\phi''(t_0)>0$ の場合を示します（負なら複素共役を取る）。

変数変換（1 次元の Morse の補題）。 Taylor の定理（積分剰余）から $\phi(t)-\phi(t_0)=(t-t_0)^2R(t)$、$R(t)=\int_0^1(1-u)\phi''(t_0+u(t-t_0))du$ で、$R$ は $C^\infty$ 級、$R(t_0)=\phi''(t_0)/2>0$ です。$\phi'$ は $t_0$ の左右で符号が一定なので $\phi$ は $t_0$ で狭義の最小値を取り、$t\neq t_0$ で $R(t)>0$ です。$s(t)=(t-t_0)\sqrt{2R(t)}$ とおくと $s$ は $C^\infty$ 級で $\phi(t)-\phi(t_0)=s^2/2$、$s'(t_0)=\sqrt{\phi''(t_0)}>0$、$t\neq t_0$ では $ss'=\phi'\neq0$ から $s'>0$ です。よって $s$ は $[a,b]$ から区間 $[s(a),s(b)]$ への $C^\infty$ 級の微分同相で、

$$\int_a^bge^{i\lambda\phi}dt=e^{i\lambda\phi(t_0)}\int_{-\infty}^{\infty}h(s)e^{i\lambda s^2/2}ds,\qquad h(s)=g(t(s))\frac{dt}{ds}$$

（$h$ は台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数で、外では $0$ とする）。$h(0)=g(t_0)/\sqrt{\phi''(t_0)}$ です。

Fresnel 型積分。 $h(s)=h(0)e^{-s^2}+s\,k(s)$ と書くと、$k(s)=(h(s)-h(0)e^{-s^2})/s$ は $C^\infty$ 級（分子は $s=0$ で $0$）で、$|s|$ が大きいところでは $-h(0)e^{-s^2}/s$ なので $k,k'$ は可積分で $k(s)\to0$ です。第 1 項は 補題 4.1（$\kappa=2-i\lambda$）で

$$h(0)\int e^{-(1-i\lambda/2)s^2}ds=h(0)\sqrt{\frac{\pi}{1-i\lambda/2}}=h(0)\sqrt{\frac{2\pi}\lambda}\,e^{i\pi/4}\Bigl(1+O\Bigl(\frac1\lambda\Bigr)\Bigr)$$

です（$\frac{2}{\lambda}-i=-i(1+\frac{2i}\lambda)$ と $(-i)^{-1/2}=e^{i\pi/4}$ を使った）。第 2 項は $se^{i\lambda s^2/2}=\frac1{i\lambda}\frac{d}{ds}e^{i\lambda s^2/2}$ で部分積分して、絶対値 $\frac1\lambda\int|k'|ds$ 以下です。

∎

例 5.3（整数次 Bessel 関数を停留位相で）

定理 3.2［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ の $J_n(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-in\theta}e^{ix\sin\theta}d\theta$ で、位相 $\sin\theta$ の停留点は $\theta=\pm\frac\pi2$、$\phi''(\pm\frac\pi2)=\mp1$ です。被積分関数は周期 $2\pi$ なので、円周上の滑らかな 1 の分割 $\chi_++\chi_-+\chi_0=1$（$\chi_\pm$ は $\pm\frac\pi2$ の小さな近傍に台をもち、$\chi_0$ は停留点を含まない）で分けると、$\chi_0$ の部分は 補題 5.1 で $O(1/x)$、$\chi_\pm$ の部分は 定理 5.2 で

$$J_n(x)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2\pi}x}\Bigl(e^{-in\pi/2}e^{ix-i\pi/4}+e^{in\pi/2}e^{-ix+i\pi/4}\Bigr)+O\Bigl(\frac1x\Bigr)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\cos\Bigl(x-\frac{n\pi}2-\frac\pi4\Bigr)+O\Bigl(\frac1x\Bigr).$$

定理 3.2 の整数次の場合を、別の道筋で再現しました（ただし誤差は相対的に $O(x^{-1/2})$ と粗い）。

6. 鞍点法

複素積分 $\int_\gamma g(z)e^{\lambda f(z)}dz$（$f,g$ は正則）では、コーシーの積分定理で積分路 $\gamma$ を自由に動かせます。うまい積分路は、$\operatorname{Re}f$ がある点で鋭い最大を取り、それ以外ではそれより小さいものです。最大点で積分路の接線方向の微分が消えるには $f'(z_0)=0$ が必要で、正則関数 $\operatorname{Re}f$ は最大値原理により極大をもたないので、$z_0$ は $\operatorname{Re}f$ の鞍点です。積分路は鞍点を「谷から谷へ」越えるように選びます。

系 6.1（鞍点法）✓

$f,g$ を領域 $D$ で正則とし、$\gamma:(a,b)\to D$ を区分的に $C^1$ 級の道で、$s_0\in(a,b)$ の近くでは $C^2$ 級、$z_0=\gamma(s_0)$、$\gamma'(s_0)\neq0$ とする。$f'(z_0)=0$、$\operatorname{Re}\bigl(f''(z_0)\gamma'(s_0)^2\bigr)\lt0$ で、$F(s)=f(\gamma(s))$、$G(s)=g(\gamma(s))\gamma'(s)$ が 定理 4.2 の仮定 2、3 をみたすとする。このとき

$$\int_\gamma g(z)e^{\lambda f(z)}dz=e^{\lambda f(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda f''(z_0)\gamma'(s_0)^2}}\;\gamma'(s_0)\bigl(g(z_0)+o(1)\bigr).$$

証明（系 6.1）

$F'(s)=f'(\gamma(s))\gamma'(s)$、$F''(s)=f''(\gamma(s))\gamma'(s)^2+f'(\gamma(s))\gamma''(s)$ なので $F'(s_0)=0$、$F''(s_0)=f''(z_0)\gamma'(s_0)^2$ です。$\int_\gamma ge^{\lambda f}dz=\int_a^bG(s)e^{\lambda F(s)}ds$ に 定理 4.2 を当てれば主張です。

∎

平方根の分枝は、$-f''(z_0)\gamma'^2$ の主値です。これは「積分路が鞍点をどちら向きに通るか」で決まり、$\sqrt{\cdot}\,\gamma'$ を一つの量として読むと $\gamma'$ の大きさによりません。

定理 6.2（Airy 関数の振動の漸近形）✓

$x\to+\infty$ で

$$\operatorname{Ai}(-x)=\frac{1}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}\Bigl(\sin\Bigl(\frac23x^{3/2}+\frac\pi4\Bigr)+o(1)\Bigr).$$

証明の方針です。$\operatorname{Re}f$ を複素平面の高さと見ると、鞍点 $u=\pm i$ は峠にあたります。積分は峠を越えるときの高さが最も低くなる道（谷から谷へ通る道）に沿って行うと、峠のごく近くだけが効きます。下の計算は、選んだ折れ線の積分路の上で $\operatorname{Re}f\le0$ で、等号が鞍点でだけ成り立つこと（つまり鞍点が道の上の最高点であること）の確認です。

証明（定理 6.2）

定義 4.1［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ で $t=\sqrt x\,u$ とおくと、$\lambda=x^{3/2}$、$f(u)=\frac{u^3}3+u$ として

$$\operatorname{Ai}(-x)=\frac{\sqrt x}{2\pi i}\int_Le^{\lambda f(u)}du .$$

$f'(u)=u^2+1$ なので鞍点は $u=\pm i$ で、$f(\pm i)=\pm\frac{2i}3$、$f''(\pm i)=\pm2i$ です。

積分路。 $\Gamma$ を、頂点 $-1$ から出る 2 本の半直線 $-1+\rho e^{\pm i\pi/4}$（$\rho\ge0$）で、$\infty e^{-i\pi/4}$ から $-1$ を経て $\infty e^{i\pi/4}$ へ向かうものとします。$\Gamma$ は $\rho=\sqrt2$ で鞍点 $\pm i$ を通ります。上側の半直線上で $u=a+i(a+1)$（$a=-1+\rho/\sqrt2\ge-1$）と書くと、$\operatorname{Re}f(a+ib)=a\bigl(\frac{a^2}3-b^2+1\bigr)$ に $b=a+1$ を代入して

$$\operatorname{Re}f=a\Bigl(\frac{a^2}3-a^2-2a\Bigr)=-\frac23a^2(a+3)\le0$$

で、等号は $a=0$（$u=i$）のときだけです。下側も複素共役で同じです。両端の方向 $\pm\frac\pi4$ はどちらも $L$ の端の方向 $\pm\frac\pi3$ と同じ「谷」$\cos3\theta\lt0$ に入るので、前章の 命題 4.2［Bessel・Airy・Whittaker 関数］ の証明と同様に、コーシーの積分定理で $L$ を $\Gamma$ に取り替えられます。

鞍点の寄与。 $\Gamma$ を $-1$ で 2 本に分けると、それぞれの上で $\operatorname{Re}f$ は鞍点でだけ最大値 $0$ を取り、頂点 $-1$ では $-\frac43$、無限遠では $-\infty$ なので、系 6.1 の仮定がみたされます。上側では $\gamma'=e^{i\pi/4}$、$-f''(i)\gamma'^2=-2i\cdot i=2$ で、寄与は $e^{2i\lambda/3}\sqrt{\pi/\lambda}\,e^{i\pi/4}(1+o(1))$。下側は内向きにたどるので $\gamma'=-e^{-i\pi/4}=e^{3i\pi/4}$、$-f''(-i)\gamma'^2=2i\cdot(-i)=2$ で、寄与は $e^{-2i\lambda/3}\sqrt{\pi/\lambda}\,e^{3i\pi/4}(1+o(1))$ です。$e^{3i\pi/4}=-e^{-i\pi/4}$ なので、$\vartheta=\frac{2\lambda}3+\frac\pi4$ として和は $\sqrt{\pi/\lambda}\,(e^{i\vartheta}-e^{-i\vartheta}+o(1))=\sqrt{\pi/\lambda}\,(2i\sin\vartheta+o(1))$ です。$\frac{\sqrt x}{2\pi i}\cdot2i\sqrt{\pi}\,x^{-3/4}=\frac{x^{-1/4}}{\sqrt\pi}$ から主張が出ます。

∎

Ai(−x) の鞍点法の積分路。破線が定義の積分路 L（偏角 ±π/3 の半直線）、実線が頂点 −1 から偏角 ±π/4 に出る積分路 Γ。Γ は鞍点 ±i を最急降下方向に通り、その上で Re f ≤ 0

この漸近形は、WKB 近似と Liouville–Green 理論 で転回点の接続公式を導くときの鍵になります。位相の $\frac\pi4$ が、Bohr–Sommerfeld の量子化条件の $\frac12$ の由来です。

7. Euler–Maclaurin の公式と複素 Stirling の公式

7.1. Bernoulli 多項式と Euler–Maclaurin の公式

この節の目的は、和 $\sum f(k)$ を積分 $\int f$ と端点での微分の補正項で表すことです。補正項の係数に現れる Bernoulli 数は、下の補題で定める多項式 $B_m(t)$ の $t=0$ での値のことです。

補題 7.1（Bernoulli 多項式）✓

多項式の列 $B_m(t)$ が、$B_0=1$、$B_m'=mB_{m-1}$、$\int_0^1B_m(t)\,dt=0$（$m\ge1$）によって一意に定まる。$B_m=B_m(0)$（Bernoulli 数）とおくと、次が成り立つ。

1. $m\ge2$ で $B_m(1)=B_m(0)$。
2. $B_m(1-t)=(-1)^mB_m(t)$。とくに $j\ge1$ で $B_{2j+1}=0$。

最初のいくつかは $B_1(t)=t-\frac12$、$B_2(t)=t^2-t+\frac16$、$B_3(t)=t^3-\frac32t^2+\frac12t$、$B_4(t)=t^4-2t^3+t^2-\frac1{30}$ である。

証明（補題 7.1）

$B_m$ は $B_{m-1}$ の原始関数の $m$ 倍で、積分定数が $\int_0^1B_m=0$ で一つに決まります。1: $B_m(1)-B_m(0)=\int_0^1B_m'=m\int_0^1B_{m-1}=0$（$m-1\ge1$）。2: $C_m(t)=(-1)^mB_m(1-t)$ とおくと $C_0=1$、$C_m'=(-1)^{m-1}mB_{m-1}(1-t)=mC_{m-1}$、$\int_0^1C_m=0$ なので一意性から $C_m=B_m$ です。$t=0$ とおくと $B_m(1)=(-1)^mB_m(0)$ で、$m=2j+1\ge3$ なら 1 と合わせて $B_m(0)=-B_m(0)$、すなわち $B_{2j+1}=0$ です。

∎

$\tilde B_m(t)=B_m(t-\lfloor t\rfloor)$（周期 1 に延ばしたもの）とします。1 から $m\ge2$ の $\tilde B_m$ は連続で、$\tilde B_m'=m\tilde B_{m-1}$（$m\ge2$ では整数点を除いて）が成り立ちます。

定理 7.2（Euler–Maclaurin の公式）✓

整数 $a\lt b$、$p\ge1$、$f\in C^{2p}([a,b])$（複素数値でよい）について

$$\sum_{k=a}^bf(k)=\int_a^bf(t)\,dt+\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{j=1}^{p}\frac{B_{2j}}{(2j)!}\Bigl(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\Bigr)-\int_a^b\frac{\tilde B_{2p}(t)}{(2p)!}f^{(2p)}(t)\,dt .$$

証明（定理 7.2）

各区間 $[k,k+1]$ で $\tilde B_1(t)=t-k-\frac12$ なので、部分積分で $\int_k^{k+1}\tilde B_1f'\,dt=\frac{f(k)+f(k+1)}2-\int_k^{k+1}f\,dt$。$k=a,\dots,b-1$ で足すと

$$\sum_{k=a}^bf(k)=\int_a^bf\,dt+\frac{f(a)+f(b)}2+\int_a^b\tilde B_1f'\,dt .$$

$m\ge1$ について、$\tilde B_{m+1}$ が連続で $\tilde B_{m+1}'=(m+1)\tilde B_m$ だから

$$\int_a^b\frac{\tilde B_m}{m!}f^{(m)}dt=\Bigl[\frac{\tilde B_{m+1}}{(m+1)!}f^{(m)}\Bigr]_a^b-\int_a^b\frac{\tilde B_{m+1}}{(m+1)!}f^{(m+1)}dt$$

で、整数点では $\tilde B_{m+1}=B_{m+1}$ です。$m=1,\dots,2p-1$ と繰り返すと、境界項 $(-1)^{m-1}\frac{B_{m+1}}{(m+1)!}[f^{(m)}]_a^b$ のうち $m+1$ が 3 以上の奇数のものは 補題 7.1 の 2 で消え、$m+1=2j$ のものは符号 $+$ で残ります。最後の積分は $(-1)^{2p-1}\int\frac{\tilde B_{2p}}{(2p)!}f^{(2p)}$ です。

∎

例 7.3（調和数と Euler 定数）

$f(t)=1/t$、$[1,n]$、$p=1$（$B_2=\frac16$）とすると

$$\sum_{k=1}^n\frac1k=\ln n+\frac12+\frac1{2n}+\frac1{12}\Bigl(1-\frac1{n^2}\Bigr)-\int_1^n\frac{\tilde B_2(t)}{t^3}dt .$$

$|\tilde B_2|\le\frac16$ なので最後の積分は $n\to\infty$ で収束し、Euler 定数は $\gamma=\frac12+\frac1{12}-\int_1^\infty\tilde B_2(t)t^{-3}dt$ と表せます。差を取ると

$$H_n=\ln n+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\int_n^\infty\frac{\tilde B_2(t)}{t^3}dt,\qquad\Bigl|\int_n^\infty\frac{\tilde B_2(t)}{t^3}dt\Bigr|\le\frac1{12n^2},$$

よって $H_n=\ln n+\gamma+\frac1{2n}+\theta_n\frac1{6n^2}$（$|\theta_n|\le1$）です。$p=2$ にすれば $-\frac1{12n^2}$ の項が正確に残り、誤差は $O(n^{-4})$ になります。

7.2. 扇形での Stirling の公式

$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 上で $\operatorname{Log}$ を対数の主値とします。

定理 7.4（Stirling の公式（複素扇形・誤差つき））✓

$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 上の正則関数 $\operatorname{Log}\Gamma$ で、$e^{\operatorname{Log}\Gamma(z)}=\Gamma(z)$ かつ正の実軸上で実数値のものが存在し、任意の $p\ge1$ について

$$\operatorname{Log}\Gamma(z)=\Bigl(z-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln2\pi+\sum_{j=1}^{p}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)z^{2j-1}}+R_p(z),\qquad R_p(z)=-\int_0^\infty\frac{\tilde B_{2p}(t)}{2p\,(z+t)^{2p}}dt$$

が成り立つ。さらに $0\lt\delta\le\pi$、$|\arg z|\le\pi-\delta$ のとき、$M_{2p}=\max|\tilde B_{2p}|$ として

$$|R_p(z)|\le\frac{M_{2p}}{2p(2p-1)\sin^{2p}(\delta/2)}\cdot\frac1{|z|^{2p-1}} .$$

とくに $p=1$ では $\operatorname{Log}\Gamma(z)=(z-\frac12)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln2\pi+\frac1{12z}+R_1(z)$、$|R_1(z)|\le\dfrac{1}{12\sin^2(\delta/2)|z|}$。

証明の方針です。Gauss の極限公式の対数を取ると、$\ln\Gamma$ が $\operatorname{Log}(z+k)$ の和の極限として書けます。この和に Euler–Maclaurin の公式を当て、$n\to\infty$ とすると、主要項と剰余の積分が出ます。途中の式変形は長いので、$\ln n$ の項が打ち消し合うこと、積分と端点の項が $n\to\infty$ で何に収束するかの 2 点に注目すると追いやすくなります。

証明（定理 7.4）

Gauss の極限公式の対数。 $z\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ とすると $z+k$ も同じ領域にあります。

$$S_n(z)=\ln n!+z\ln n-\sum_{k=0}^n\operatorname{Log}(z+k)$$

とおくと $e^{S_n(z)}=\frac{n!\,n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}$ で、Gauss の極限公式（定理 6.3［整関数とガンマ関数］）からこれは $\Gamma(z)$ に収束します。

Euler–Maclaurin。 $f(t)=\operatorname{Log}(z+t)$ は $f^{(m)}(t)=(-1)^{m-1}(m-1)!\,(z+t)^{-m}$ をみたし、$\int_0^nf\,dt=\bigl[(z+t)\operatorname{Log}(z+t)-(z+t)\bigr]_0^n$ です。定理 7.2 を $[0,n]$ で使って整理すると

$$\begin{aligned} S_n(z)={}&\Bigl[\ln n!+z\ln n-(z+n)\operatorname{Log}(z+n)+n-\tfrac12\operatorname{Log}(z+n)\Bigr]+\Bigl(z-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}z\\ &+\sum_{j=1}^p\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}\Bigl(\frac1{z^{2j-1}}-\frac1{(z+n)^{2j-1}}\Bigr)-\int_0^n\frac{\tilde B_{2p}(t)}{2p\,(z+t)^{2p}}dt . \end{aligned}$$

$n\to\infty$ とします。$\operatorname{Log}(z+n)=\ln n+\frac zn+O(n^{-2})$ から $(z+n)\operatorname{Log}(z+n)=(z+n)\ln n+z+O(1/n)$、実軸上の Stirling の公式（定理 6.6［整関数とガンマ関数］）から $\ln n!=(n+\frac12)\ln n-n+\frac12\ln2\pi+o(1)$ です。代入すると $\ln n$ の係数は $(n+\frac12)+z-(z+n)-\frac12=0$ で、最初の角括弧は $\frac12\ln2\pi-z+o(1)$ に収束します。

剰余の評価。 $|\arg z|\le\pi-\delta$、$t\ge0$ なら、$\cos(\arg z)\ge-\cos\delta$ と $2|z|t\le\frac12(|z|+t)^2$ から

$$|z+t|^2\ge(|z|+t)^2-2|z|t(1+\cos\delta)\ge(|z|+t)^2\,\frac{1-\cos\delta}2=(|z|+t)^2\sin^2\frac\delta2$$

です。よって積分は $n\to\infty$ で絶対収束し、

$$\Bigl|\int_0^\infty\frac{\tilde B_{2p}(t)}{2p(z+t)^{2p}}dt\Bigr|\le\frac{M_{2p}}{2p\sin^{2p}(\delta/2)}\int_0^\infty\frac{dt}{(|z|+t)^{2p}}=\frac{M_{2p}}{2p(2p-1)\sin^{2p}(\delta/2)|z|^{2p-1}}$$

です。

$\operatorname{Log}\Gamma$ の構成。 以上の評価は $z$ がコンパクト集合を動くとき一様なので、$S_n$ は $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 上で局所一様に収束し、極限 $\Phi$ は正則です（定理 5.2［偏角の原理と Rouché の定理］）。$e^{\Phi}=\lim e^{S_n}=\Gamma$ で、$z>0$ では各項が実数なので $\Phi$ は実数値です。$\Phi$ は $p$ によらない（$S_n$ の極限だから）ので、$\operatorname{Log}\Gamma=\Phi$ とすればすべての $p$ で主張の式が成り立ちます。$p=1$ では $M_2=\max_{[0,1]}|t^2-t+\frac16|=\frac16$ です。

∎

前章までの実軸上の Stirling の公式は、$z=x>0$（$\delta=\pi$、$\sin\frac\delta2=1$）の場合にあたり、$|R_1(x)|\le\frac1{12x}$ の評価が出ます。扇形の角を $\pi$ に近づけると、負の実軸上の極に近づくので誤差の定数は $\sin^{-2}(\delta/2)$ のように大きくなります。

系 7.5（縦の直線上での Γ の減衰）✓

$x$ が有界閉区間を動くとき、一様に

$$|\Gamma(x+iy)|=\sqrt{2\pi}\,|y|^{x-1/2}e^{-\pi|y|/2}\Bigl(1+O\Bigl(\frac1{|y|}\Bigr)\Bigr)\qquad(|y|\to\infty).$$

証明（系 7.5）

$\overline{\Gamma(z)}=\Gamma(\bar z)$ なので $y>0$ で示せば十分です。$y\ge|x|$ なら $|\arg z|\le\frac{3\pi}4$ なので 定理 7.4（$p=1$、$\delta=\frac\pi4$）が使え、$\ln|\Gamma(z)|=\operatorname{Re}\bigl[(z-\frac12)\operatorname{Log}z\bigr]-x+\frac12\ln2\pi+O(1/y)$ です。$\arg z=\frac\pi2-\arctan\frac xy$ と $\arctan u=u+O(u^3)$ から $-y\arg z=-\frac{\pi y}2+x+O(1/y)$、また $\ln|z|=\ln y+O(y^{-2})$ なので

$$\operatorname{Re}\Bigl[\Bigl(z-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}z\Bigr]=\Bigl(x-\frac12\Bigr)\ln|z|-y\arg z=\Bigl(x-\frac12\Bigr)\ln y-\frac{\pi y}2+x+O\Bigl(\frac1y\Bigr)$$

です。合わせて指数を取れば主張です。

∎

たとえば $x=\frac12$ では右辺の主要項は $\sqrt{2\pi}e^{-\pi|y|/2}$ で、相反公式から得られる厳密な値 $|\Gamma(\frac12+iy)|^2=\pi/\cosh\pi y$ と、$|y|\to\infty$ で確かに一致します。この減衰は、Mellin 変換や $\zeta$ 関数の評価で、縦の直線に沿った積分の収束を保証する基本的な道具です。

8. Borel 総和と Watson–Nevanlinna–Sokal の定理

例 2.3 のように、漸近級数はしばしば発散し、係数が $k!$ 程度で増えます。この場合、$\int_0^\infty e^{-t/z}t^k\,dt=k!\,z^{k+1}$ を使って $k!$ を「積分に押し込む」と、収束する級数が得られます。

定義 8.1（Borel 変換と Borel 和）↗

形式的冪級数 $\sum_ka_kz^k$ で $|a_k|\le A\sigma^kk!$ をみたすものの Borel 変換を $\mathcal B(t)=\sum_ka_kt^k/k!$（$|t|\lt1/\sigma$ で収束）とする。$\mathcal B$ が正の実軸の近傍に解析接続でき、$|\mathcal B(t)|\le Ke^{ct}$（$t>0$）であるとき、$\operatorname{Re}(1/z)>c$ について

$$(\mathcal S f)(z)=\frac1z\int_0^\infty e^{-t/z}\mathcal B(t)\,dt$$

を Borel 和という。

形式的には $\frac1z\int_0^\infty e^{-t/z}\frac{t^k}{k!}dt=z^k$ なので、和と積分を交換すれば元の級数に戻ります。問題は、Borel 和が「元の関数」を与えるかどうかです。指数的に小さい量を区別しない漸近展開からは、一般には関数は決まりません（2 節）。次の定理は、ある円板の上で一様な誤差評価があれば関数が一意に決まり、Borel 和で復元できることを保証します。

$R>0$ について $C_R=\{z:\operatorname{Re}(1/z)>1/R\}$ とおきます。これは中心 $R/2$、直径 $R$ の開円板で、原点で虚軸に接しています。

定理 8.2（Watson–Nevanlinna–Sokal の定理）✓

$f$ を $C_R$ で正則とし、定数 $A,\sigma>0$ と複素数 $a_k$ があって、すべての $N\ge0$ と $z\in C_R$ について

$$\Bigl|f(z)-\sum_{k=0}^{N-1}a_kz^k\Bigr|\le A\,\sigma^N N!\,|z|^N$$

とする。このとき次が成り立つ。

1. $|a_k|\le A\sigma^kk!$ で、Borel 変換 $\mathcal B(t)=\sum a_kt^k/k!$ は $|t|\lt1/\sigma$ で収束する。
2. $\mathcal B$ は $S_\sigma=\{t:\operatorname{dist}(t,[0,\infty))\lt1/\sigma\}$ に正則に解析接続され、任意の $c>1/R$、$\sigma'>\sigma$ について、ある $K$ で $S_{\sigma'}$ 上 $|\mathcal B(t)|\le Ke^{c|t|}$。
3. すべての $z\in C_R$ で $f(z)=\dfrac1z\displaystyle\int_0^\infty e^{-t/z}\mathcal B(t)\,dt$。

とくに、すべての $a_k$ が $0$ なら $f\equiv0$ である。

証明の方針です。$w=1/z$ と置くと、誤差の仮定は右半平面での評価になります。この評価から、まず係数 $a_k$ の増え方を押さえ、次に誤差項を縦の直線に沿った積分で表して Borel 変換 $\mathcal B(t)$ を作ります（この積分は Laplace 変換の逆を取る操作にあたります）。最後に $\mathcal B$ を Laplace 変換して $f$ に戻ることを確かめます。

証明（定理 8.2）

$w=1/z$、$F(w)=f(1/w)$ とし、$R_N(w)=F(w)-\sum_{k\lt N}a_kw^{-k}$ とおくと、仮定は $\operatorname{Re}w>1/R$ で $|R_N(w)|\le A\sigma^NN!\,|w|^{-N}$ です。

1。 $a_Nw^{-N}=R_N(w)-R_{N+1}(w)$ から $|a_N|\le A\sigma^NN!+A\sigma^{N+1}(N+1)!/|w|$ で、$w\to+\infty$ とすれば主張です。

$t>0$ での表示。 $c>1/R$ を取り、$t>0$ について

$$\tilde{\mathcal B}(t)=a_0+\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{wt}\frac{R_1(w)}{w}dw$$

とおきます。$|R_1(w)/w|\le A\sigma|w|^{-2}$ なので絶対収束し、コーシーの積分定理で縦の直線を動かせるので $c$ によりません。$N\ge1$ について $\frac{R_1(w)}w=\sum_{1\le k\lt N}a_kw^{-k-1}+\frac{R_N(w)}w$ で、$k\ge1$ なら留数定理（定理 5.1［留数定理と定積分への応用］、左半平面の半円で閉じる。$t>0$ なので円弧の寄与は消える）から $\frac1{2\pi i}\int e^{wt}w^{-k-1}dw=\frac{t^k}{k!}$ です。よって

$$\tilde{\mathcal B}(t)=\sum_{k\lt N}\frac{a_kt^k}{k!}+E_N(t),\qquad E_N(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{wt}\frac{R_N(w)}wdw .$$

$\int_{-\infty}^\infty(c^2+y^2)^{-(N+1)/2}dy\le\pi c^{-N}$ から $|E_N(t)|\le\frac A2N!\,(\sigma/c)^Ne^{ct}$ が、すべての $c>1/R$ で成り立ちます。

2 の前半：$0\lt t\lt1/\sigma$ で $\tilde{\mathcal B}=\mathcal B$。 $N>t/R$ なら $c=N/t$ と取れて、$N!\le3N^{N+1/2}e^{-N}$（定理 6.6［整関数とガンマ関数］ で $N!=N\Gamma(N)\le\sqrt{2\pi}e^{1/12}N^{N+1/2}e^{-N}$）から $|E_N(t)|\le\frac{3A}2\sqrt N(\sigma t)^N\to0$ です。

導関数の評価と解析接続。 $N=n+1$ の表示を $n$ 回微分すると（被積分関数 $e^{wt}w^{n-1}R_{n+1}(w)$ は $|w|^{-2}$ の定数倍で抑えられ、積分記号下で微分できる）

$$\tilde{\mathcal B}^{(n)}(t)=a_n+\frac1{2\pi i}\int e^{wt}w^{n-1}R_{n+1}(w)\,dw,\qquad\frac{|\tilde{\mathcal B}^{(n)}(t)|}{n!}\le A\sigma^n\Bigl(1+\frac{\sigma(n+1)}{2c}e^{ct}\Bigr)$$

です（$\int_{\operatorname{Re}w=c}|w|^{-2}|dw|=\pi/c$）。この評価は $t$ がコンパクト集合を動くとき一様なので、各 $t_0>0$ で Taylor 級数は半径 $1/\sigma$ 以上の円板で収束し、Taylor の定理の剰余の評価から実軸上では $\tilde{\mathcal B}$ に一致します。これらの円板上の正則関数と、$|t|\lt1/\sigma$ での $\mathcal B$ は、重なりの実軸部分で一致するので、一致の定理により貼り合わさって $S_\sigma$ 上の正則関数になります。$t\in S_{\sigma'}$ なら $|t-t_0|\lt1/\sigma'$ となる $t_0\in[0,|t|+1/\sigma']$ が取れ、Taylor 展開と上の評価から $|\mathcal B(t)|\le e^{ct_0}A\sum_n(1+\frac{\sigma(n+1)}{2c})(\sigma/\sigma')^n\le Ke^{c|t|}$ です。

3：Laplace 変換で戻す。 $\operatorname{Re}w>c$ とします。Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］、$|e^{-(w-w')t}|=e^{-(\operatorname{Re}w-c)t}$）で積分の順序を交換すると

$$\int_0^\infty e^{-wt}\bigl(\mathcal B(t)-a_0\bigr)dt=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{G(w')}{w-w'}dw',\qquad G(w')=\frac{R_1(w')}{w'} .$$

$G$ は $\operatorname{Re}w'\ge c$ で正則で $O(|w'|^{-2})$ なので、右半平面の半円板にコーシーの積分公式（定理 6.1［コーシーの積分定理と積分公式］）を当てて半径を無限大にすると、右辺は $G(w)=(F(w)-a_0)/w$ です。$\int_0^\infty e^{-wt}a_0\,dt=a_0/w$ と合わせて $w\int_0^\infty e^{-wt}\mathcal B(t)dt=F(w)$。$c>1/R$ は任意なので、$\operatorname{Re}w>1/R$、すなわち $z\in C_R$ のすべてで 3 が成り立ちます。最後の主張は、$a_k$ がすべて $0$ なら $\mathcal B\equiv0$ だからです。

∎

Watson（1912）の元の定理は、開き角が $\pi$ より大きい扇形での評価を仮定していました。Sokal（1980）は、それが原点で虚軸に接する円板 $C_R$ で足りることを示しました。この改良によって、場の量子論のいくつかの模型（2 次元・3 次元の $\phi^4$ 模型など）で、摂動級数が Borel 総和可能で、その和が厳密に構成された理論の量を再現することが証明されています。

例 8.3（Euler の級数の Borel 和）

例 2.3 の $E(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{1+zt}dt$ は $\operatorname{Re}z>0$ で正則で、そこでは $|1+zt|\ge\operatorname{Re}(1+zt)\ge1$ なので、剰余の表示から $|R_N(z)|\le N!\,|z|^N$ です。$C_R$ は右半平面に含まれるので、定理 8.2 の仮定が任意の $R$ について $A=\sigma=1$ でみたされます。Borel 変換は $\mathcal B(t)=\sum(-1)^kt^k=\frac1{1+t}$ で、Borel 和 $\frac1z\int_0^\infty\frac{e^{-t/z}}{1+t}dt$ は $t=zs$ と置換すれば確かに $E(z)$ です。

一方、符号の交代しない $\sum k!\,z^k$ では $\mathcal B(t)=\frac1{1-t}$ が正の実軸上の $t=1$ に極をもち、Borel 和は定義できません。極の上下を回る二通りの積分の差は $e^{-1/z}$ の程度で（演習）、ちょうど漸近展開が見分けられない大きさです。

9. 演習

演習 9.1易

定理 3.1 を使って、$\lambda\to\infty$ で $\displaystyle\int_0^\infty\frac{e^{-\lambda t}}{1+t}dt\sim\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^kk!}{\lambda^{k+1}}$ を示せ。

解答

$f(t)=\frac1{1+t}$ は $0\le t\lt1$ で $\sum_{k\lt N}(-1)^kt^k+\frac{(-t)^N}{1+t}$ と書け、剰余は $|t|^N$ 以下なので、$\alpha_k=k$、$a_k=(-1)^k$ として仮定 2 がみたされます。$|f|\le1$ なので仮定 1 は $c>0$ で成り立ちます。$\Gamma(k+1)=k!$ から主張が出ます。これは $\frac1\lambda E(\frac1\lambda)$ にほかなりません。

演習 9.2標準

定理 4.2 を使って、$\lambda\to\infty$ で $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{\lambda\cos t}dt\sim e^\lambda\sqrt{\frac{2\pi}\lambda}$ を示せ。左辺は $2\pi I_0(\lambda)$ に等しいので、$I_0(\lambda)\sim\dfrac{e^\lambda}{\sqrt{2\pi\lambda}}$ となる。

解答

$F(t)=\cos t$ は $(-\pi,\pi)$ の内点 $t=0$ でだけ最大値 $1$ を取り、$F''(0)=-1$、$|t|\ge\delta$ では $\cos t\le\cos\delta\lt1$ です。区間は有界なので仮定 3 も成り立ちます。定理 4.2 から $\int e^{\lambda\cos t}dt\sim e^\lambda\sqrt{2\pi/\lambda}$ です。$I_0$ の Poisson 型表示 $I_0(\lambda)=\frac1\pi\int_{-1}^1\frac{\cosh\lambda s}{\sqrt{1-s^2}}ds$ で $s=\cos t$ とおくと $\frac1\pi\int_0^\pi\cosh(\lambda\cos t)dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\lambda\cos t}dt$ なので（$t\mapsto\pi-t$ で $\cos t$ の符号が変わる）、後半が従います。

演習 9.3標準

定理 7.2 を $f(t)=t^2$、$[0,n]$、$p=2$ に当てて $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ を導け。

解答

$f^{(4)}=0$ なので剰余は $0$、$f'''=0$ なので $j=2$ の項も $0$ です。$\int_0^nt^2dt=\frac{n^3}3$、$\frac{f(0)+f(n)}2=\frac{n^2}2$、$\frac{B_2}{2!}(f'(n)-f'(0))=\frac1{12}\cdot2n=\frac n6$ から、和は $\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac n6=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ です。

演習 9.4難

$z>0$ とし、$\mathcal B(t)=\frac1{1-t}$ について、正の実軸のすぐ上と下を通る積分 $I_\pm(z)=\frac1z\int_{0}^{\infty\pm i0}e^{-t/z}\mathcal B(t)\,dt$（$t=1$ を上または下に小さく迂回する）の差を求めよ。

解答

下を通る道から上を通る道を引いたもの（下を右へ、上を左へ戻る）は、$t=1$ を正の向きに一周する閉曲線と同じ寄与をもちます（遠方の寄与は $e^{-t/z}$ で消える）。$\frac{e^{-t/z}}{z(1-t)}$ の $t=1$ での留数は $-\frac{e^{-1/z}}z$ なので、留数定理から

$$I_--I_+=2\pi i\cdot\Bigl(-\frac{e^{-1/z}}z\Bigr),\qquad I_+-I_-=\frac{2\pi i}{z}e^{-1/z}.$$

差は $z\to+0$ で $z^N$ のどの冪よりも速く $0$ に近づき、$\sum k!z^k$ の漸近展開では区別できません。どちらを「和」と呼ぶかには、級数だけからは決まらない選択が入ります。

参考文献

• N. G. de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, North-Holland, 1958（Dover 再版 1981）.
• F. W. J. Olver, Asymptotics and Special Functions, Academic Press, 1974（A K Peters 再版 1997）.
• N. Bleistein, R. A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986.
• R. Wong, Asymptotic Approximations of Integrals, SIAM（Classics in Applied Mathematics）, 2001.
• A. D. Sokal, “An improvement of Watson’s theorem on Borel summability”, Journal of Mathematical Physics 21 (1980), 261–263.
• E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, 4th ed., Cambridge University Press, 1927 — 第 12 章（ガンマ関数）。