# 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和
> Watson の補題と Laplace の方法を証明し、停留位相法・鞍点法で Bessel 関数と Airy 関数の振動の漸近形を導く。Euler–Maclaurin の公式から複素扇形での Stirling の公式を誤差つきで示し、Borel 総和と Watson–Nevanlinna–Sokal の定理まで進む。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/special-functions/asymptotic-methods
## 0. この記事の要点
「パラメータが大きいとき、積分や関数の値はおよそどんな大きさになるか」を、誤差の見積りつきで調べる方法を学びます。たとえば $x$ が大きいときの $\sin$ に似た振動の振幅や、$n!$ の大きさがその例です。積分の値が、ごく一部の点の近くの情報だけでほぼ決まるという事実が、すべての方法の出発点です。読み終えると、Bessel 関数や Airy 関数の大きい $x$ での形と、複素数に対する Stirling の公式を、誤差まで込めて導けるようになります。
- **漸近展開**は収束しなくてよい級数です。各打ち切りの誤差が次の項より小さい、という条件だけで定義され、係数は関数から一意に決まります。
- **Watson の補題**: $\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)\,dt$ の $\lambda\to\infty$ での漸近展開は、$f$ の $t=0$ での展開を項別に Laplace 変換したものです。これで Bessel 関数の大きい $x$ での漸近形 $J_\nu(x)\sim\sqrt{2/(\pi x)}\cos(x-\frac{\nu\pi}2-\frac\pi4)$ を完全に証明します。
- **Laplace の方法**は「$e^{\lambda F}$ は $\operatorname{Re}F$ の最大点の近くに集中する」という原理で、位相 $F$ が複素数値でも同じ証明が通ります。これを積分路の上で使うのが**鞍点法**で、$\operatorname{Ai}(-x)\sim\pi^{-1/2}x^{-1/4}\sin(\frac23x^{3/2}+\frac\pi4)$ を導きます。実の振動積分には**停留位相法**を使います。
- **Euler–Maclaurin の公式**は和を積分と端点の補正で表します。Gauss の極限公式と組み合わせると、Stirling の公式を扇形 $|\arg z|\le\pi-\delta$ に拡張し、誤差 $|R_p(z)|\le C_p/(\sin^{2p}(\delta/2)|z|^{2p-1})$ まで明示できます。
- 発散する漸近級数から関数を一意に復元するのが **Borel 総和**です。**Watson–Nevanlinna–Sokal の定理**は、円板 $\operatorname{Re}(1/z)>1/R$ で $N!\,\sigma^N|z|^N$ 型の誤差評価があれば Borel 総和が可能で、元の関数を再現することを保証します。
## 1. 動機
特殊関数の多くは積分で表されます。前章で見た $K_\nu(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh\nu t\,dt$ や $\operatorname{Ai}(x)=\frac1{2\pi i}\int_Le^{t^3/3-xt}dt$ がその例です。パラメータ（$x$ や次数 $\nu$）が大きいときの振る舞いを知りたいのですが、積分を閉じた形で計算することはできません。漸近解析は、**大きなパラメータがあると、積分の値はごく一部の点の近くの情報だけで決まる**という現象を、誤差まで込めて定式化する技術です。
決め手になる点は、積分の形によって異なります。$\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)dt$ では端点 $t=0$、$\int e^{\lambda F(t)}dt$ では $\operatorname{Re}F$ の最大点、$\int e^{i\lambda\phi(t)}dt$ では位相の停留点（$\phi'=0$）、複素積分では鞍点（$f'=0$）です。この章ではこれらを順に証明し、前章で残した Bessel 関数の振動の定数、次章の WKB 近似で使う [Airy 関数](/mathematics/special-functions/bessel-airy-whittaker#def-airy)の振動の漸近形、そして複素数での Stirling の公式を導きます。最後に、漸近級数が発散するときにどこまで関数を「復元」できるかという問い（Borel 総和）を扱います。
## 2. 漸近展開
$\lambda\to\infty$ での比較のために、$f=O(g)$ は「$\lambda$ が十分大きいとき $|f|\le C|g|$ となる定数 $C$ がある」、$f=o(g)$ は「$f/g\to0$」、$f\sim g$ は「$f/g\to1$」を表す。関数列 $\varphi_0,\varphi_1,\dots$ が $\varphi_{k+1}=o(\varphi_k)$ をみたすとき**漸近列**という。形式的な級数 $\sum_ka_k\varphi_k$ が $f$ の**漸近展開**であるとは、すべての $N$ について
$$
f(\lambda)-\sum_{k=0}^{N-1}a_k\varphi_k(\lambda)=O\bigl(\varphi_N(\lambda)\bigr)\qquad(\lambda\to\infty)
$$
が成り立つことをいい、$f\sim\sum_ka_k\varphi_k$ と書く。
漸近列 $(\varphi_k)$ に関する $f$ の漸近展開の係数は一意である。
$\sum a_k\varphi_k$ と $\sum b_k\varphi_k$ がともに $f$ の漸近展開で、$a_k=b_k$（$k\lt N$）とします。差を取ると $(a_N-b_N)\varphi_N=O(\varphi_{N+1})=o(\varphi_N)$ なので $a_N=b_N$ です。
逆は成り立ちません。$\varphi_k=\lambda^{-k}$ のとき $e^{-\lambda}$ の漸近展開は係数がすべて $0$ で、$f$ と $f+e^{-\lambda}$ は同じ漸近展開をもちます。漸近展開は、**指数的に小さい量を見分けない**のです。
$x>0$ について $E(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{1+xt}\,dt$ とします。$\frac1{1+xt}=\sum_{k\lt N}(-xt)^k+\frac{(-xt)^N}{1+xt}$ を代入すると
$$
E(x)=\sum_{k=0}^{N-1}(-1)^kk!\,x^k+R_N(x),\qquad|R_N(x)|=x^N\int_0^\infty\frac{t^Ne^{-t}}{1+xt}dt\le N!\,x^N .
$$
誤差は「最初に捨てた項」の大きさ以下で、$x\to0$ で $E(x)\sim\sum(-1)^kk!x^k$ です。しかしこの級数は $x\neq0$ でつねに発散します。$x$ を固定すると、$N!x^N$ は $N\approx1/x$ で最小になり、そこで打ち切ると誤差は Stirling の公式から約 $\sqrt{2\pi/x}\,e^{-1/x}$ です。漸近級数の精度には、指数的に小さい量で決まる限界があります。
なぜ $N\approx1/x$ なのかを確かめておきます。隣り合う項の大きさの比は $(N+1)!\,x^{N+1}\big/(N!\,x^N)=(N+1)x$ です。$N+1\lt1/x$ の間は比が $1$ より小さく項は減り続け、$N+1\gt1/x$ になると増え始めます。したがって項が最小になるのは $N$ が $1/x$ の近くのときで、そこで級数を打ち切るのが最も精度がよい、ということです。
## 3. Watson の補題
$f:(0,\infty)\to\mathbb{C}$ を可測関数とし、次を仮定する。
1. ある $c\ge0$ で $\int_0^\infty|f(t)|e^{-ct}dt\lt\infty$。
2. 実数 $-1\lt\alpha_0\lt\alpha_1\lt\cdots$ と複素数 $a_k$ があって、各 $N$ について $t\to+0$ で $f(t)=\sum_{k\lt N}a_kt^{\alpha_k}+O(t^{\alpha_N})$。
このとき $\lambda\to+\infty$ で
$$
\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)\,dt\sim\sum_{k=0}^\infty a_k\frac{\Gamma(\alpha_k+1)}{\lambda^{\alpha_k+1}} .
$$
$N$ を固定し、$0\lt\delta\le1$ と $C$ を、$0\lt t\le\delta$ で $\bigl|f(t)-\sum_{k\lt N}a_kt^{\alpha_k}\bigr|\le Ct^{\alpha_N}$ となるように取ります。
**遠方。** $\lambda>c$ なら $\bigl|\int_\delta^\infty e^{-\lambda t}f\,dt\bigr|\le e^{-(\lambda-c)\delta}\int_\delta^\infty|f|e^{-ct}dt=O(e^{-\lambda\delta})$。
**近傍。** $\int_0^\delta e^{-\lambda t}t^{\alpha}dt=\Gamma(\alpha+1)\lambda^{-\alpha-1}-\int_\delta^\infty e^{-\lambda t}t^\alpha dt$ で、最後の積分は $\lambda\ge2$ で $e^{-\lambda\delta/2}\int_\delta^\infty e^{-t}t^\alpha dt=O(e^{-\lambda\delta/2})$ です（$\lambda t\ge t+\lambda\delta/2$）。残りは
$$
\Bigl|\int_0^\delta e^{-\lambda t}\Bigl(f-\sum_{k\lt N}a_kt^{\alpha_k}\Bigr)dt\Bigr|\le C\int_0^\infty e^{-\lambda t}t^{\alpha_N}dt=C\,\Gamma(\alpha_N+1)\lambda^{-\alpha_N-1}
$$
です。指数的に小さい項はすべて $O(\lambda^{-\alpha_N-1})$ なので、主張の $N$ 項目までの評価が得られます。
Watson の補題の使い方は、「積分を $\int_0^\infty e^{-\lambda t}(\cdots)dt$ の形に変形すること」に尽きます。振動積分なら、積分路を複素平面で回転させて $e^{i\lambda t}$ を $e^{-\lambda y}$ に変えます。その典型例として、前章 [Bessel・Airy・Whittaker 関数](/mathematics/special-functions/bessel-airy-whittaker) の 
$\Gamma(\lambda+1)=\int_0^\infty t^\lambda e^{-t}dt$ で $t=\lambda s$ とおくと $\Gamma(\lambda+1)=\lambda^{\lambda+1}\int_0^\infty e^{\lambda(\ln s-s)}ds$ です。$F(s)=\ln s-s$ は $s=1$ で最大値 $-1$ を取り、$F''(1)=-1$ で、$s\to0$ と $s\to\infty$ で $F\to-\infty$ なので仮定 2 がみたされます。