数学 › 特殊関数と漸近解析 › WKB 近似と Liouville–Green 理論

Liouville–Green 近似の誤差評価

定理 3.1（「WKB 近似と Liouville–Green 理論」§3） ・ ✓公理まで証明済み

ψ\psi を区間 (α,β)(\alpha,\beta)（端点は無限でもよい）上の連続関数、λ>0\lambda>0 とし、Vξ1,ξ2=∣∫ξ1ξ2∣ψ(η)∣dη∣\mathcal V_{\xi_1,\xi_2}=\bigl|\int_{\xi_1}^{\xi_2}|\psi(\eta)|d\eta\bigr| と書く。

  1. 指数型。 Vξ,β<∞\mathcal V_{\xi,\beta}\lt\infty なら、W′′=(λ2+ψ)WW''=(\lambda^2+\psi)W は解 W1=e−λξ(1+ε1(ξ))W_1=e^{-\lambda\xi}(1+\varepsilon_1(\xi)) をもち、
∣ε1(ξ)∣≤eVξ,β/(2λ)−1,∣ε1′(ξ)∣≤2λ(eVξ,β/(2λ)−1).|\varepsilon_1(\xi)|\le e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1,\qquad|\varepsilon_1'(\xi)|\le2\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\beta}/(2\lambda)}-1\bigr).

同様に Vα,ξ<∞\mathcal V_{\alpha,\xi}\lt\infty なら解 W2=eλξ(1+ε2)W_2=e^{\lambda\xi}(1+\varepsilon_2) があり、ε2\varepsilon_2 は Vα,ξ\mathcal V_{\alpha,\xi} で同じ形に抑えられる。 2. 振動型。 γ∈[α,β]\gamma\in[\alpha,\beta] で Vξ,γ<∞\mathcal V_{\xi,\gamma}\lt\infty なら、W′′=(−λ2+ψ)WW''=(-\lambda^2+\psi)W は解 W±=e±iλξ(1+ε±(ξ))W_\pm=e^{\pm i\lambda\xi}(1+\varepsilon_\pm(\xi)) をもち、

∣ε±(ξ)∣≤eVξ,γ/λ−1,∣ε±′(ξ)∣≤λ(eVξ,γ/λ−1).|\varepsilon_\pm(\xi)|\le e^{\mathcal V_{\xi,\gamma}/\lambda}-1,\qquad|\varepsilon_\pm'(\xi)|\le\lambda\bigl(e^{\mathcal V_{\xi,\gamma}/\lambda}-1\bigr).

γ\gamma が有限なら ε±(γ)=ε±′(γ)=0\varepsilon_\pm(\gamma)=\varepsilon_\pm'(\gamma)=0。ψ\psi が実数値なら W−=W+‾W_-=\overline{W_+}。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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