数学 › 特殊関数と漸近解析 › WKB 近似と Liouville–Green 理論

Bohr–Sommerfeld の量子化条件

定理 6.1（「WKB 近似と Liouville–Green 理論」§6）・ ✓公理まで証明済み

上の仮定の下で $\Theta(E)=\int_{x_-(E)}^{x_+(E)}\sqrt{E-V(x)}\,dx$ とおく。 $\eta(\lambda)\to0$ （ $\lambda\to\infty$ ）となる関数 $\eta$ があって、

固有値 $E\in[E_a,E_b]$ はすべて、ある整数 $n$ について $\bigl|\lambda\Theta(E)-(n+\frac12)\pi\bigr|\le\eta(\lambda)$ をみたす。
逆に、 $\lambda\Theta(E')=n\pi$ 、 $\lambda\Theta(E'')=(n+1)\pi$ となる $E'\lt E''$ が $[E_a,E_b]$ にあれば、その間に固有値がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 107 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

接続公式（x 変数）✓系 5.2・WKB 近似と Liouville–Green 理論
- 接続公式（Langer 変数）✓定理 5.1・WKB 近似と Liouville–Green 理論
  - x 変数での Liouville–Green 近似✓系 3.2・WKB 近似と Liouville–Green 理論
    Liouville 変換✓補題 2.1・WKB 近似と Liouville–Green 理論
    Liouville–Green 近似の誤差評価✓定理 3.1・WKB 近似と Liouville–Green 理論
  - Liouville–Green 近似の誤差評価✓定理 3.1・WKB 近似と Liouville–Green 理論
  - Airy 関数の特徴づけと誤差つき漸近形✓補題 3.3・WKB 近似と Liouville–Green 理論
    Airy 関数の基本性質✓命題 4.2・Bessel・Airy・Whittaker 関数この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    x 変数での Liouville–Green 近似✓系 3.2・WKB 近似と Liouville–Green 理論（上で展開済み）
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - Airy 関数の振動の漸近形✓定理 6.2・漸近解析
    Airy 関数定義 4.1・Bessel・Airy・Whittaker 関数
    Airy 関数の基本性質✓命題 4.2・Bessel・Airy・Whittaker 関数この先をたどる →
    鞍点法✓系 6.1・漸近解析この先をたどる →
Liouville–Green 近似の誤差評価✓定理 3.1・WKB 近似と Liouville–Green 理論

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Bohr–Sommerfeld の量子化条件

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）