Jensen の不等式

系 7.3（「Jensen の公式と劣調和関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

Jensen の公式の仮定の下で

\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta\ge\log|c|+m\log R .

とくに $f(0)\ne0$ なら $\log|f(0)|$ 以上で、等号は $\overline{D}(0,R)$ に零点がない（または零点が円周上だけにある）ときに限る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 63 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Jensen の公式✓定理 7.2・Jensen の公式と劣調和関数
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 零点の位数定義 7.1・正則関数の強力な性質
- 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数
  - 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 一次式の対数の円周平均✓補題 7.1・Jensen の公式と劣調和関数
  - 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Jensen の不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）