任意停止定理（連続時間版）

定理 6.2（「マルチンゲールとブラウン運動」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(M_t)_{t\ge0}$ を $(\mathcal{F}_t)$ に関するマルチンゲールで、確率 1 で道が連続であるものとする。 $\tau$ を $(\mathcal{F}_t)$ に関する停止時刻とする。このとき、

(a) 任意の定数 $T \ge 0$ について $M_{T\wedge\tau}$ は可積分で、 $E[M_{T\wedge\tau}] = E[M_0]$ が成り立つ。

(b) さらに $P(\tau<\infty)=1$ であり、可積分な確率変数 $Y \ge 0$ が存在してすべての $T \ge 0$ で $|M_{T\wedge\tau}| \le Y$ となるならば、 $E[M_\tau] = E[M_0]$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

停止時刻定義 4.1・マルチンゲールとブラウン運動
ドゥーブの任意停止定理✓定理 4.3・マルチンゲールとブラウン運動
- 止めた過程もマルチンゲール✓補題 4.2・マルチンゲールとブラウン運動
  - 停止時刻定義 4.1・マルチンゲールとブラウン運動
  - マルチンゲール変換の不変性✓定理 3.7・マルチンゲールとブラウン運動
    マルチンゲール定義 3.1・マルチンゲールとブラウン運動
    マルチンゲールの基本性質✓命題 3.2・マルチンゲールとブラウン運動（上で展開済み）
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
マルチンゲールの基本性質✓命題 3.2・マルチンゲールとブラウン運動
- マルチンゲール定義 3.1・マルチンゲールとブラウン運動
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

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止めた連続マルチンゲール✓補題 6.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

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