マルチンゲール

$(\mathcal{F}_n)_{n \ge 0}$ をフィルトレーション、$(X_n)_{n\ge0}$ を実数値確率過程とする。次の三条件が成り立つとき、$(X_n)$ は $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールであるという。

1. $(X_n)$ は $(\mathcal{F}_n)$ に適合している。
2. すべての $n \ge 0$ について $E[|X_n|] < \infty$。
3. すべての $n \ge 0$ について $E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n$。

条件 3 を $E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] \ge X_n$ で置き換えたものを劣マルチンゲール、$E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] \le X_n$ で置き換えたものを優マルチンゲールという。連続時間 $T = [0,\infty)$ の場合は、条件 3 を「$0 \le s \le t$ に対し $E[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s$」に読み替える。