速度関数の性質

補題 5.2（「熱力学的極限」§5）・ ✓公理まで証明済み

$m=E[X]$ 、 $a=\operatorname{ess\,inf}X$ 、 $b=\operatorname{ess\,sup}X$ （ $\pm\infty$ を許す）とし、 $X$ は定数でないとする。

(i) $\Lambda$ は $C^1$ で、 $\Lambda'(t)=E[Xe^{tX}]/E[e^{tX}]$ 。

(ii) $I$ は凸、 $I\ge0$ 、 $I(m)=0$ で、 $I$ は $[m,\infty)$ で単調非減少、 $(-\infty,m]$ で単調非増加。

(iii) $a<x<b$ ならば $\Lambda'(t^*)=x$ 、 $I(x)=t^*x-\Lambda(t^*)$ となる $t^*$ がある。 $x>b$ または $x<a$ ならば $I(x)=\infty$ 。 $b<\infty$ ならば $I(b)=-\log P(X=b)$ （ $a$ も同様）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

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Cramér の定理✓定理 5.3・熱力学的極限

速度関数の性質

閉包の状態

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