可分な無限次元 Hilbert 空間の分類

定理 6.8（「Hilbert 空間の基礎」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}$ を可分な無限次元 Hilbert 空間とし、 $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ をその正規直交基底とする。写像

U:\mathcal{H}\to\ell^2,\qquad Ux = \bigl(\langle e_n, x\rangle\bigr)_{n\in\mathbb{N}}

はユニタリ写像である。とくに、可分な無限次元 Hilbert 空間はすべて互いにユニタリ同値であり、 $\ell^2$ とユニタリ同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可分性と可算基底✓命題 6.7・Hilbert 空間の基礎
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
- 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
- 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。