2 次元の一意性と大域的な先験評価（Ladyzhenskaya）

定理 6.2（「Navier–Stokes 方程式 I」§6）・ ✓公理まで証明済み

$d=2$ 、 $\nu\gt0$ とする。

(i) 一意性。 $u_0\in H$ 、 $f\in L^2(0,T;H^{-1})$ に対する $\mathbb{T}^2\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解はただ 1 つである。

(ii) 先験評価。 $(u,p)$ を $\mathbb{T}^2\times[0,T]$ 上の滑らかな解、 $f$ を滑らかな周期的外力とし、 $u_0$ と $f(t)$ の平均は $0$ とする。渦度 $\omega=\partial_1u_2-\partial_2u_1$ と $g=\partial_1f_2-\partial_2f_1$ について、すべての $0\le t\le T$ で

\|\nabla u(t)\|=\|\omega(t)\|\le\|\omega_0\|+\int_0^t\|g(s)\|\,ds .

とくに $f=0$ なら $\|\nabla u(t)\|\le\|\nabla u_0\|$ で、評価は $T$ によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 101 件、定義なども含めて 116 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I
- Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
  - Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
積分で与えられた関数の 2 乗✓補題 6.1・Navier–Stokes 方程式 I
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
多次元トーラスの Parseval の等式✓補題 4.1・Navier–Stokes 方程式 I
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
  - Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
    Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
空間 H・V、射影 ℙ・ $P_N$ 、H⁻¹ のノルム定義 4.2・Navier–Stokes 方程式 I
ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

2 次元の一意性と大域的な先験評価（Ladyzhenskaya）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）