空間 H・V、射影 ℙ・$P_N$、H⁻¹ のノルム

実ベクトル値の $u\in L^2(\mathbb{T}^d;\mathbb{R}^d)$ に対し、次のように定める。

• $H$ は、$\hat u(0)=0$（平均 $0$）かつすべての $k$ で $k\cdot\hat u(k)=0$（発散なし）を満たす $u$ の全体。$L^2$ の閉部分空間である。
• $\|\nabla u\|^2=4\pi^2\sum_k|k|^2|\hat u(k)|^2$ とおき、$V=\{u\in H:\|\nabla u\|\lt\infty\}$ とする。滑らかな $u$ では $\widehat{\partial_ju}(k)=2\pi ik_j\hat u(k)$ なので、補題 4.1 によりこれは勾配の $L^2$ ノルムに一致する。
• Leray 射影 $\mathbb{P}$ を $\widehat{\mathbb{P}u}(k)=\Pi_k\hat u(k)$（$k\ne0$）、$\widehat{\mathbb{P}u}(0)=0$ で定める。ここで $\Pi_k=I-kk^{\mathsf T}/|k|^2$ は $k$ に直交する平面への直交射影である。$\mathbb{P}$ は $L^2$ から $H$ への直交射影である。
• $P_N$ は $|k|\le N$ の係数だけを残す切断で、$\mathcal{V}_N=P_NH$（有限次元。元は発散なし・平均 $0$ の実三角多項式）とする。
• 係数の列 $(\hat g(k))_{k\ne0}$（$\hat g(-k)=\overline{\hat g(k)}$）に対し $\|g\|_{-1}^2=\sum_{k\ne0}|\hat g(k)|^2/(4\pi^2|k|^2)$ とおき、$v\in V$ との組を $\langle g,v\rangle=\sum_{k\ne0}\hat g(k)\cdot\overline{\hat v(k)}$ で定める。Cauchy–Schwarz の不等式により $|\langle g,v\rangle|\le\|g\|_{-1}\|\nabla v\|$ である。$L^2(0,T;H^{-1})$ は、各 $\hat g(k,\cdot)$ が可測で $\int_0^T\|g(t)\|_{-1}^2dt\lt\infty$ となる $g$ の全体とする。