Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式

補題 4.3（「Navier–Stokes 方程式 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

以下 (i)(ii) の $u$ は、 $\mathbb{R}^d$ 上の滑らかな関数で、 $u$ と $\nabla u$ が $|x|\to\infty$ で任意の多項式より速く減衰するものとする（ $C_c^\infty$ の元はこれを満たす）。

(i) $d=2$ のとき $\|u\|_4^2\le2\|u\|\,\|\nabla u\|$ 。

(ii) $d=3$ のとき $\|u\|_6\le4\|\nabla u\|$ 、 $\|u\|_4\le4^{3/4}\|u\|^{1/4}\|\nabla u\|^{3/4}$ 、 $\|u\|_3\le2\|u\|^{1/2}\|\nabla u\|^{1/2}$ 。

(iii) 定数 $C$ があって、平均 $0$ の滑らかな周期関数 $u$ について、 $\mathbb{T}^2$ 上で $\|u\|_4^2\le C\|u\|\,\|\nabla u\|$ 、 $\mathbb{T}^3$ 上で $\|u\|_6\le C\|\nabla u\|$ 、 $\|u\|_4\le C\|u\|^{1/4}\|\nabla u\|^{3/4}$ 、 $\|u\|_3\le C\|u\|^{1/2}\|\nabla u\|^{1/2}$ 。

(iv) (iii) の不等式は $u\in V$ （成分ごと）でも成り立ち、 $P_Nu\to u$ は $\mathbb{T}^2$ では $L^4$ 、 $\mathbb{T}^3$ では $L^6$ で収束する。

ベクトル値の $u$ については、成分ごとに適用して定数を取り替えれば同じ形で成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 86 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
- Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

2 次元の一意性と大域的な先験評価（Ladyzhenskaya）✓定理 6.2・Navier–Stokes 方程式 I
‖∇u‖² の微分不等式✓命題 7.1・Navier–Stokes 方程式 I
Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価）✓定理 3.1・Navier–Stokes 方程式 II
プロファイルの方程式とノルムの振る舞い✓命題 6.2・Navier–Stokes 方程式 II

Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件